Trong không gian với hệ trục toạ độ \(Oxyz\), cho ba điểm \[A\left( {2;1; - 1} \right),B\left( {3;0;1} \right),C\left( {2; - 1;3} \right)\] và mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 4z + 5 = 0\).

Trả lời: 4.

Gọi \(a = AB\).

Vì \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ tam giác đều nên đáy \(ABC\) là tam giác đều và các cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Trong  đều, ta có \(AM \bot BC\).

Vì \(AA' \bot (ABC)\) và \(AM \bot BC\), suy ra \(A'M \bot BC\). Do đó, \([A',BC,A] = \widehat {A'MA} = 30^\circ \).

Trong tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a\), ta có\(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Trong tam giác vuông \(A'AM\) (vuông tại \(A\)) ta có\(AA' = AM\tan (\widehat {A'MA}) = \frac{a}{2}\).

\(A'M = \frac{{AM}}{{\cos (\widehat {A'MA})}} = a\).
\({S_{A'BC}} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot A'M\)\( = \frac{{{a^2}}}{2}\).
Theo đề bài, \({S_{A'BC}} = 32\), nên \(\frac{{{a^2}}}{2} = 32 \Rightarrow a = 8\) (vì \(a > 0\)).

Từ đó, chiều cao của lăng trụ là \(AA' = \frac{a}{2} = 4\).

Ta có \(AB\parallel A'B'\) (vì \(ABB'A'\) là hình chữ nhật).

Mà \(A'B' \subset (A'B'C')\).

Suy ra \(AB\parallel (A'B'C')\).

Suy ra \(d\left( {AB,A'C'} \right) = d\left( {AB,\left( {A'B'C'} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {A'B'C'} \right)} \right) = AA'\).

Vậy \(d(AB,A'C') = AA' = 4\).

Đáp án: 196

Ta có lợi nhuận của xưởng một tháng là \(L\left( x \right) = 12x - 150.{e^{0,005x}} - 450\)

Để xưởng đạt lợi nhuận tối thiểu \(1,5\) tỷ đồng mỗi tháng thì ta cần có

\(L\left( x \right) \ge 1500\)\( \Leftrightarrow 12x - 150.{e^{0,005x}} - 450 \ge 1500\)

\( \Leftrightarrow 12x - 150.{e^{0,005x}} - 1950 \ge 0\)

Đặt \(f\left( x \right) = 12x - 150.{e^{0,005x}} - 1950\)

Ta có \(f'\left( x \right) = 12 - 0,75.{e^{0,005x}}\)

Với \(10 \le x \le 500\) ta có \(0,005x \le 2,5\)\( \Rightarrow {e^{0,005x}} \le {e^{2,5}} \approx 12,182\)

Suy ra \(f'\left( x \right) \ge 12 - 0,75.12,182 > 0\) nên hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {10;500} \right]\)

Ta có đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) cắt trục hoành tại điểm duy nhất có hoành độ \(x \approx 195,7669\)

Tính \(f\left( {196} \right) \approx 2,332 > 0\) , vì hàm số đồng biến nên số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn là \(x = 196\)

Vậy xưởng cần sản xuất và tiêu thụ ít nhất \(196\) robot mỗi tháng.