Cho khối lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\). Biết số đo góc nhị diện \([A',BC,A]\) bằng \(30^\circ \) và tam giác \(A'BC\) có diện tích bằng \(32\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(A'C'\) bằng bao nhiêu?

Đáp án: \(111\).

Do \[\Delta \,{\rm{//}}\,Oz\] nên phương trình tham số của \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = a\\y = b\\z = t\end{array} \right.\). Gọi \(P = \Delta  \cap \left( {Oxy} \right) \Rightarrow P\left( {a\,;\,b\,;\,0} \right)\).

Ta có: \(A,\,B \in Ox \Rightarrow AP \bot \Delta ,\,BP \bot \Delta \)

\(d(A,\Delta ) = AP = \sqrt {{{(a - 3)}^2} + {b^2}} \)

\(d(B,\Delta ) = BP = \sqrt {{{(a + 3)}^2} + {b^2}} \)

Theo đề bài: \(\sqrt {{{(a - 3)}^2} + {b^2}}  + \sqrt {{{(a + 3)}^2} + {b^2}}  = 2\sqrt {34} {\rm{ }}\left( 1 \right)\)

Trong mặt phẳng \(Oxy\), có \(P(a,b)\)

Khi đó: \(PA + PB = 2\sqrt {34} \) với \(A(3,0),B( - 3,0)\).

Suy ra \(P\)nằm trên đường elip có hai tiêu điểm \(A,B\)với \(2{a_{{\rm{elip}}}} = 2\sqrt {34}  \Rightarrow {a_{{\rm{elip}}}} = \sqrt {34} \).

Khoảng cách hai tiêu điểm: \(2c = AB = 6 \Rightarrow c = 3\).

Suy ra: \[b_{{\rm{elip}}}^2 = {a_{elip}}^2 - {c^2} = 34 - 9 = 25\] nên \({b_{{\rm{elip}}}} = 5\).

Ta có phương trình elip: $\left(E\right):\frac{x^2}{34}+\frac{y^2}{25}=1$

Vậy điểm \(P(a,b)\) nằm trên elip này.

Điểm \(M \in \Delta \) có tọa độ dạng: \(M(a,b,{z_M})\)

Để \(MC\) nhỏ nhất thì \(M\) là hình chiếu của \(C\) trên \(\Delta \), suy ra \({z_M} = 1\)(vì \(0 \le 1 \le 10\), thỏa điều kiện).

Khi đó \(M{C^2} = {a^2} + {(b - 6)^2}\) nhỏ nhất với điều kiện: \(\frac{{{a^2}}}{{34}} + \frac{{{b^2}}}{{25}} = 1\).

Trên mp \(\left( {Oxy} \right)\) ta cần tìm điểm thuộc elip \(\left( E \right)\) gần điểm \((0,6)\) nhất.

Vì elip \(\left( E \right)\) đối xứng qua tâm \(O\), trục lớn nằm trên \(Ox\), trục nhỏ nằm trên \(Oy\), nên điểm cao nhất của elip là \((0,5)\) gần điểm \((0,6)\) nhất.

Suy ra: \(a = 0,\,b = 5\).

Vậy trong hệ toạ độ không gian, ta có  $M_0=(0;5;1)$

\(S = {x_0} + 20{y_0} + 11{z_0}\)

\( = 0 + 20.5 + 11.1\)

\( = 100 + 11 = 111\).