Gọi \(A\) và \(B\) là hai điểm phân biệt trên đồ thị của hàm số \(y = {\log _3}(5x - 3)\) sao cho \(A\) là trung điểm của đoạn OB (với \(O\) là gốc tọa độ). Biết độ dài đoạn thẳng AB có dạng \(\frac{{\sqrt a }}{b}\). Tính giá trị của biểu thức \(ab\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Trả lời: 305.
Điều kiện: \(5x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{5}\).
Gọi \(A({x_1};{y_1})\) và \(B({x_2};{y_2})\) là hai điểm thuộc đồ thị hàm số.
Vì \(A\) là trung điểm của đoạn OB, suy ra\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_2} = 2{x_1}}\\{{y_2} = 2{y_1}}\end{array}} \right.\).
Do \(A\) và \(B\) cùng nằm trên đồ thị hàm số \(y = {\log _3}(5x - 3)\), ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{y_1} = {{\log }_3}(5{x_1} - 3)}\\{{y_2} = {{\log }_3}(5{x_2} - 3)}\end{array}} \right.\).
Thay \({x_2} = 2{x_1}\) và \({y_2} = 2{y_1}\) vào phương trình thứ hai, ta được:
\(2{\log _3}(5{x_1} - 3) = {\log _3}(10{x_1} - 3) \Leftrightarrow 25x_1^2 - 40{x_1} + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{2}{5}\left( L \right)\\{x_1} = \frac{6}{5}\left( N \right)\end{array} \right.\).
Với \({x_1} = \frac{6}{5} \Rightarrow {y_1} = {\log _3}\left( {5 \cdot \frac{6}{5} - 3} \right) = {\log _3}(3) = 1\).
Vậy tọa độ điểm \(A\) là \(A\left( {\frac{6}{5};1} \right)\).
Vì \(A\) là trung điểm của OB nên độ dài đoạn AB bằng độ dài đoạn OA:
\(AB = OA = \sqrt {x_1^2 + y_1^2} = \sqrt {{{\left( {\frac{6}{5}} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt {\frac{{36}}{{25}} + 1} = \frac{{\sqrt {61} }}{5}\).
Đối chiếu với dạng bài cho \(AB = \frac{{\sqrt a }}{b}\), ta xác định được: \(a = 61\) và \(b = 5\).
Suy ra \(ab = 305\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án:
Đáp án: \(111\).
Do \[\Delta \,{\rm{//}}\,Oz\] nên phương trình tham số của \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = a\\y = b\\z = t\end{array} \right.\). Gọi \(P = \Delta \cap \left( {Oxy} \right) \Rightarrow P\left( {a\,;\,b\,;\,0} \right)\).
Ta có: \(A,\,B \in Ox \Rightarrow AP \bot \Delta ,\,BP \bot \Delta \)
\(d(A,\Delta ) = AP = \sqrt {{{(a - 3)}^2} + {b^2}} \)
\(d(B,\Delta ) = BP = \sqrt {{{(a + 3)}^2} + {b^2}} \)
Theo đề bài: \(\sqrt {{{(a - 3)}^2} + {b^2}} + \sqrt {{{(a + 3)}^2} + {b^2}} = 2\sqrt {34} {\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Trong mặt phẳng \(Oxy\), có \(P(a,b)\)
Khi đó: \(PA + PB = 2\sqrt {34} \) với \(A(3,0),B( - 3,0)\).
Suy ra \(P\)nằm trên đường elip có hai tiêu điểm \(A,B\)với \(2{a_{{\rm{elip}}}} = 2\sqrt {34} \Rightarrow {a_{{\rm{elip}}}} = \sqrt {34} \).
Khoảng cách hai tiêu điểm: \(2c = AB = 6 \Rightarrow c = 3\).
Suy ra: \[b_{{\rm{elip}}}^2 = {a_{elip}}^2 - {c^2} = 34 - 9 = 25\] nên \({b_{{\rm{elip}}}} = 5\).
Ta có phương trình elip:
Vậy điểm \(P(a,b)\) nằm trên elip này.
Điểm \(M \in \Delta \) có tọa độ dạng: \(M(a,b,{z_M})\)
Để \(MC\) nhỏ nhất thì \(M\) là hình chiếu của \(C\) trên \(\Delta \), suy ra \({z_M} = 1\)(vì \(0 \le 1 \le 10\), thỏa điều kiện).
Khi đó \(M{C^2} = {a^2} + {(b - 6)^2}\) nhỏ nhất với điều kiện: \(\frac{{{a^2}}}{{34}} + \frac{{{b^2}}}{{25}} = 1\).
Trên mp \(\left( {Oxy} \right)\) ta cần tìm điểm thuộc elip \(\left( E \right)\) gần điểm \((0,6)\) nhất.
Vì elip \(\left( E \right)\) đối xứng qua tâm \(O\), trục lớn nằm trên \(Ox\), trục nhỏ nằm trên \(Oy\), nên điểm cao nhất của elip là \((0,5)\) gần điểm \((0,6)\) nhất.
Suy ra: \(a = 0,\,b = 5\).
Vậy trong hệ toạ độ không gian, ta có
\(S = {x_0} + 20{y_0} + 11{z_0}\)
\( = 0 + 20.5 + 11.1\)
\( = 100 + 11 = 111\).
Lời giải
Đáp án:
Đáp án: 18
Gọi \(x,y\) lần lượt là số tiền đầu tư vào Kênh A và Kênh B (đơn vị: tỷ đồng).
Điều kiện: \(x \ge 0,y \ge 5\).
Theo bài ra ta có hệ bất phương trình giới hạn miền nghiệm:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \ge 5}\\{x + y \le 30}\\{x \le 2y}\\{45x + 20y \le 1050}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \ge 5}\\{x + y \le 30}\\{x - 2y \le 0}\\{9x + 4y \le 210}\end{array}} \right.(*)\)
Lợi nhuận thực tế thu về sau thuế và chi phí quản lý là:
\(F(x,y) = [0,15x \cdot (1 - 0,1) - 0,045x] + [0,10y \cdot (1 - 0,1) - 0,02y]\)
\(F(x,y) = 0,09x + 0,07y\) (tỷ đồng).
Miền nghiệm của hệ \((*)\) là miền ngũ giác \(ABCDE\) trong hình vẽ với các đỉnh:
Đỉnh \(A(0;5)\) là giao của đường thẳng \(x = 0\) và \(y = 5\).
Đỉnh \(B(0;30)\) là giao của đường thẳng \(x = 0\) và \(x + y = 30\).
Đỉnh \(C(18;12)\) là giao của đường thẳng \(x + y = 30\) và \(9x + 4y = 210\).
Đỉnh \(D(\frac{{210}}{{11}};\frac{{105}}{{11}})\) là giao của đường thẳng \(9x + 4y = 210\) và \(x - 2y = 0\).
Đỉnh \(E(10;5)\) là giao của đường thẳng \(x - 2y = 0\) và \(y = 5\).
Giá trị của hàm lợi nhuận \(F(x;y)\) tại các đỉnh:
\(F(A) = F(0;5) = 0,09 \cdot 0 + 0,07 \cdot 5 = 0,35\).
\(F(B) = F(0;30) = 0,09 \cdot 0 + 0,07 \cdot 30 = 2,1\).
\(F(C) = F(18;12) = 0,09 \cdot 18 + 0,07 \cdot 12 = 2,46\).
\(F(D) = F(\frac{{210}}{{11}};\frac{{105}}{{11}}) = 0,09 \cdot \frac{{210}}{{11}} + 0,07 \cdot \frac{{105}}{{11}} \approx 2,386\).
\(F(E) = F(10;5) = 0,09 \cdot 10 + 0,07 \cdot 5 = 1,25\).
So sánh các giá trị trên, ta thấy lợi nhuận lớn nhất bằng \(2,46\) tỷ đồng đạt được khi \(x = 18\) và \(y = 12\).
Vậy quỹ đầu tư nên phân bổ \(18\) tỷ đồng vào Kênh A.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập