Một quỹ đầu tư có nguồn vốn tối đa \(30\) tỷ đồng, dự kiến phân bổ vào hai danh mục: Cổ phiếu niêm yết (Kênh A) và Trái phiếu doanh nghiệp (Kênh B). Các điều kiện đầu tư được quy định như sau: Lợi nhuận kỳ vọng của Kênh A là \(15\% \) một năm, Kênh B là \(10\% \) một năm. Lợi nhuận từ cả hai kênh đều chịu mức thuế thu nhập là \(10\% \). Để giảm thiểu rủi ro, số tiền đầu tư vào Kênh A không được vượt quá \(2\) lần số tiền đầu tư vào Kênh B. Số tiền đầu tư vào Kênh B không được ít hơn \(5\) tỷ đồng. Mỗi tỷ đồng đầu tư vào Kênh A chi phí quản lý là \(45\) triệu đồng; mỗi tỷ đồnjg đầu tư vào Kênh B chi phí quản lý là \(20\) triệu đồng. Tổng chi phí quản lý không được vượt quá \(1,05\) tỷ đồng. Giả sử lợi nhuận thực tế thu về là lợi nhuận kỳ vọng sau khi đã trừ thuế và trừ chi phí quản lý. Để lợi nhuận thu về đạt giá trị lớn nhất thì quỹ đầu tư nên phân bổ bao nhiêu vốn vào Kênh A (đơn vị: tỷ đồng)?

Trả lời: 4.

Gọi \(a = AB\).

Vì \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ tam giác đều nên đáy \(ABC\) là tam giác đều và các cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Trong  đều, ta có \(AM \bot BC\).

Vì \(AA' \bot (ABC)\) và \(AM \bot BC\), suy ra \(A'M \bot BC\). Do đó, \([A',BC,A] = \widehat {A'MA} = 30^\circ \).

Trong tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a\), ta có\(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Trong tam giác vuông \(A'AM\) (vuông tại \(A\)) ta có\(AA' = AM\tan (\widehat {A'MA}) = \frac{a}{2}\).

\(A'M = \frac{{AM}}{{\cos (\widehat {A'MA})}} = a\).
\({S_{A'BC}} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot A'M\)\( = \frac{{{a^2}}}{2}\).
Theo đề bài, \({S_{A'BC}} = 32\), nên \(\frac{{{a^2}}}{2} = 32 \Rightarrow a = 8\) (vì \(a > 0\)).

Từ đó, chiều cao của lăng trụ là \(AA' = \frac{a}{2} = 4\).

Ta có \(AB\parallel A'B'\) (vì \(ABB'A'\) là hình chữ nhật).

Mà \(A'B' \subset (A'B'C')\).

Suy ra \(AB\parallel (A'B'C')\).

Suy ra \(d\left( {AB,A'C'} \right) = d\left( {AB,\left( {A'B'C'} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {A'B'C'} \right)} \right) = AA'\).

Vậy \(d(AB,A'C') = AA' = 4\).

Đáp án: 196

Ta có lợi nhuận của xưởng một tháng là \(L\left( x \right) = 12x - 150.{e^{0,005x}} - 450\)

Để xưởng đạt lợi nhuận tối thiểu \(1,5\) tỷ đồng mỗi tháng thì ta cần có

\(L\left( x \right) \ge 1500\)\( \Leftrightarrow 12x - 150.{e^{0,005x}} - 450 \ge 1500\)

\( \Leftrightarrow 12x - 150.{e^{0,005x}} - 1950 \ge 0\)

Đặt \(f\left( x \right) = 12x - 150.{e^{0,005x}} - 1950\)

Ta có \(f'\left( x \right) = 12 - 0,75.{e^{0,005x}}\)

Với \(10 \le x \le 500\) ta có \(0,005x \le 2,5\)\( \Rightarrow {e^{0,005x}} \le {e^{2,5}} \approx 12,182\)

Suy ra \(f'\left( x \right) \ge 12 - 0,75.12,182 > 0\) nên hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {10;500} \right]\)

Ta có đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) cắt trục hoành tại điểm duy nhất có hoành độ \(x \approx 195,7669\)

Tính \(f\left( {196} \right) \approx 2,332 > 0\) , vì hàm số đồng biến nên số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn là \(x = 196\)

Vậy xưởng cần sản xuất và tiêu thụ ít nhất \(196\) robot mỗi tháng.