Một quỹ đầu tư có nguồn vốn tối đa \(30\) tỷ đồng, dự kiến phân bổ vào hai danh mục: Cổ phiếu niêm yết (Kênh A) và Trái phiếu doanh nghiệp (Kênh B). Các điều kiện đầu tư được quy định như sau: Lợi nhuận kỳ vọng của Kênh A là \(15\% \) một năm, Kênh B là \(10\% \) một năm. Lợi nhuận từ cả hai kênh đều chịu mức thuế thu nhập là \(10\% \). Để giảm thiểu rủi ro, số tiền đầu tư vào Kênh A không được vượt quá \(2\) lần số tiền đầu tư vào Kênh B. Số tiền đầu tư vào Kênh B không được ít hơn \(5\) tỷ đồng. Mỗi tỷ đồng đầu tư vào Kênh A chi phí quản lý là \(45\) triệu đồng; mỗi tỷ đồnjg đầu tư vào Kênh B chi phí quản lý là \(20\) triệu đồng. Tổng chi phí quản lý không được vượt quá \(1,05\) tỷ đồng. Giả sử lợi nhuận thực tế thu về là lợi nhuận kỳ vọng sau khi đã trừ thuế và trừ chi phí quản lý. Để lợi nhuận thu về đạt giá trị lớn nhất thì quỹ đầu tư nên phân bổ bao nhiêu vốn vào Kênh A (đơn vị: tỷ đồng)?

Đáp án: \(111\).

Do \[\Delta \,{\rm{//}}\,Oz\] nên phương trình tham số của \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = a\\y = b\\z = t\end{array} \right.\). Gọi \(P = \Delta  \cap \left( {Oxy} \right) \Rightarrow P\left( {a\,;\,b\,;\,0} \right)\).

Ta có: \(A,\,B \in Ox \Rightarrow AP \bot \Delta ,\,BP \bot \Delta \)

\(d(A,\Delta ) = AP = \sqrt {{{(a - 3)}^2} + {b^2}} \)

\(d(B,\Delta ) = BP = \sqrt {{{(a + 3)}^2} + {b^2}} \)

Theo đề bài: \(\sqrt {{{(a - 3)}^2} + {b^2}}  + \sqrt {{{(a + 3)}^2} + {b^2}}  = 2\sqrt {34} {\rm{ }}\left( 1 \right)\)

Trong mặt phẳng \(Oxy\), có \(P(a,b)\)

Khi đó: \(PA + PB = 2\sqrt {34} \) với \(A(3,0),B( - 3,0)\).

Suy ra \(P\)nằm trên đường elip có hai tiêu điểm \(A,B\)với \(2{a_{{\rm{elip}}}} = 2\sqrt {34}  \Rightarrow {a_{{\rm{elip}}}} = \sqrt {34} \).

Khoảng cách hai tiêu điểm: \(2c = AB = 6 \Rightarrow c = 3\).

Suy ra: \[b_{{\rm{elip}}}^2 = {a_{elip}}^2 - {c^2} = 34 - 9 = 25\] nên \({b_{{\rm{elip}}}} = 5\).

Ta có phương trình elip: $\left(E\right):\frac{x^2}{34}+\frac{y^2}{25}=1$

Vậy điểm \(P(a,b)\) nằm trên elip này.

Điểm \(M \in \Delta \) có tọa độ dạng: \(M(a,b,{z_M})\)

Để \(MC\) nhỏ nhất thì \(M\) là hình chiếu của \(C\) trên \(\Delta \), suy ra \({z_M} = 1\)(vì \(0 \le 1 \le 10\), thỏa điều kiện).

Khi đó \(M{C^2} = {a^2} + {(b - 6)^2}\) nhỏ nhất với điều kiện: \(\frac{{{a^2}}}{{34}} + \frac{{{b^2}}}{{25}} = 1\).

Trên mp \(\left( {Oxy} \right)\) ta cần tìm điểm thuộc elip \(\left( E \right)\) gần điểm \((0,6)\) nhất.

Vì elip \(\left( E \right)\) đối xứng qua tâm \(O\), trục lớn nằm trên \(Ox\), trục nhỏ nằm trên \(Oy\), nên điểm cao nhất của elip là \((0,5)\) gần điểm \((0,6)\) nhất.

Suy ra: \(a = 0,\,b = 5\).

Vậy trong hệ toạ độ không gian, ta có  $M_0=(0;5;1)$

\(S = {x_0} + 20{y_0} + 11{z_0}\)

\( = 0 + 20.5 + 11.1\)

\( = 100 + 11 = 111\).

Trả lời: 305.

Điều kiện: \(5x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{5}\).

Gọi \(A({x_1};{y_1})\) và \(B({x_2};{y_2})\) là hai điểm thuộc đồ thị hàm số.

Vì \(A\) là trung điểm của đoạn OB, suy ra\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_2} = 2{x_1}}\\{{y_2} = 2{y_1}}\end{array}} \right.\).

Do \(A\) và \(B\) cùng nằm trên đồ thị hàm số \(y = {\log _3}(5x - 3)\), ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{y_1} = {{\log }_3}(5{x_1} - 3)}\\{{y_2} = {{\log }_3}(5{x_2} - 3)}\end{array}} \right.\).

Thay \({x_2} = 2{x_1}\) và \({y_2} = 2{y_1}\) vào phương trình thứ hai, ta được:

\(2{\log _3}(5{x_1} - 3) = {\log _3}(10{x_1} - 3) \Leftrightarrow 25x_1^2 - 40{x_1} + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{2}{5}\left( L \right)\\{x_1} = \frac{6}{5}\left( N \right)\end{array} \right.\).

Với \({x_1} = \frac{6}{5} \Rightarrow {y_1} = {\log _3}\left( {5 \cdot \frac{6}{5} - 3} \right) = {\log _3}(3) = 1\).

Vậy tọa độ điểm \(A\) là \(A\left( {\frac{6}{5};1} \right)\).

Vì \(A\) là trung điểm của OB nên độ dài đoạn AB bằng độ dài đoạn OA:

\(AB = OA = \sqrt {x_1^2 + y_1^2}  = \sqrt {{{\left( {\frac{6}{5}} \right)}^2} + {1^2}}  = \sqrt {\frac{{36}}{{25}} + 1}  = \frac{{\sqrt {61} }}{5}\).

Đối chiếu với dạng bài cho \(AB = \frac{{\sqrt a }}{b}\), ta xác định được: \(a = 61\) và \(b = 5\).

Suy ra \(ab = 305\).