Một xưởng sản xuất robot hút bụi thông minh đang trong giai đoạn tăng tốc. Số lượng robot sản xuất mỗi tháng là \(x\) (chiếc), với \(x \in {\mathbb{N}^*}\) và \(10 \le x \le 500\). Mỗi robot được bán với giá cố định là \(12\) triệu đồng, tổng chi phí sản xuất mỗi tháng là \(C\left( x \right) = 150.{e^{0,005x}} + 450\) (triệu đồng). Để xưởng đạt lợi nhuận tối thiểu là \(1,5\) tỷ đồng mỗi tháng, xưởng cần sản xuất và tiêu thụ ít nhất bao nhiêu robot một tháng?

Trả lời: 4.

Gọi \(a = AB\).

Vì \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ tam giác đều nên đáy \(ABC\) là tam giác đều và các cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Trong  đều, ta có \(AM \bot BC\).

Vì \(AA' \bot (ABC)\) và \(AM \bot BC\), suy ra \(A'M \bot BC\). Do đó, \([A',BC,A] = \widehat {A'MA} = 30^\circ \).

Trong tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a\), ta có\(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Trong tam giác vuông \(A'AM\) (vuông tại \(A\)) ta có\(AA' = AM\tan (\widehat {A'MA}) = \frac{a}{2}\).

\(A'M = \frac{{AM}}{{\cos (\widehat {A'MA})}} = a\).
\({S_{A'BC}} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot A'M\)\( = \frac{{{a^2}}}{2}\).
Theo đề bài, \({S_{A'BC}} = 32\), nên \(\frac{{{a^2}}}{2} = 32 \Rightarrow a = 8\) (vì \(a > 0\)).

Từ đó, chiều cao của lăng trụ là \(AA' = \frac{a}{2} = 4\).

Ta có \(AB\parallel A'B'\) (vì \(ABB'A'\) là hình chữ nhật).

Mà \(A'B' \subset (A'B'C')\).

Suy ra \(AB\parallel (A'B'C')\).

Suy ra \(d\left( {AB,A'C'} \right) = d\left( {AB,\left( {A'B'C'} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {A'B'C'} \right)} \right) = AA'\).

Vậy \(d(AB,A'C') = AA' = 4\).

Đáp án: \(111\).

Do \[\Delta \,{\rm{//}}\,Oz\] nên phương trình tham số của \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = a\\y = b\\z = t\end{array} \right.\). Gọi \(P = \Delta  \cap \left( {Oxy} \right) \Rightarrow P\left( {a\,;\,b\,;\,0} \right)\).

Ta có: \(A,\,B \in Ox \Rightarrow AP \bot \Delta ,\,BP \bot \Delta \)

\(d(A,\Delta ) = AP = \sqrt {{{(a - 3)}^2} + {b^2}} \)

\(d(B,\Delta ) = BP = \sqrt {{{(a + 3)}^2} + {b^2}} \)

Theo đề bài: \(\sqrt {{{(a - 3)}^2} + {b^2}}  + \sqrt {{{(a + 3)}^2} + {b^2}}  = 2\sqrt {34} {\rm{ }}\left( 1 \right)\)

Trong mặt phẳng \(Oxy\), có \(P(a,b)\)

Khi đó: \(PA + PB = 2\sqrt {34} \) với \(A(3,0),B( - 3,0)\).

Suy ra \(P\)nằm trên đường elip có hai tiêu điểm \(A,B\)với \(2{a_{{\rm{elip}}}} = 2\sqrt {34}  \Rightarrow {a_{{\rm{elip}}}} = \sqrt {34} \).

Khoảng cách hai tiêu điểm: \(2c = AB = 6 \Rightarrow c = 3\).

Suy ra: \[b_{{\rm{elip}}}^2 = {a_{elip}}^2 - {c^2} = 34 - 9 = 25\] nên \({b_{{\rm{elip}}}} = 5\).

Ta có phương trình elip: $\left(E\right):\frac{x^2}{34}+\frac{y^2}{25}=1$

Vậy điểm \(P(a,b)\) nằm trên elip này.

Điểm \(M \in \Delta \) có tọa độ dạng: \(M(a,b,{z_M})\)

Để \(MC\) nhỏ nhất thì \(M\) là hình chiếu của \(C\) trên \(\Delta \), suy ra \({z_M} = 1\)(vì \(0 \le 1 \le 10\), thỏa điều kiện).

Khi đó \(M{C^2} = {a^2} + {(b - 6)^2}\) nhỏ nhất với điều kiện: \(\frac{{{a^2}}}{{34}} + \frac{{{b^2}}}{{25}} = 1\).

Trên mp \(\left( {Oxy} \right)\) ta cần tìm điểm thuộc elip \(\left( E \right)\) gần điểm \((0,6)\) nhất.

Vì elip \(\left( E \right)\) đối xứng qua tâm \(O\), trục lớn nằm trên \(Ox\), trục nhỏ nằm trên \(Oy\), nên điểm cao nhất của elip là \((0,5)\) gần điểm \((0,6)\) nhất.

Suy ra: \(a = 0,\,b = 5\).

Vậy trong hệ toạ độ không gian, ta có  $M_0=(0;5;1)$

\(S = {x_0} + 20{y_0} + 11{z_0}\)

\( = 0 + 20.5 + 11.1\)

\( = 100 + 11 = 111\).