Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) sao cho \(D\left( {0\,;0\,;0} \right)\), \(A\left( {2\,;0\,;0} \right)\), \(C\left( {0\,;2\,;0} \right)\), \({D_1}\left( {0\,;0\,;1} \right)\) (tham khảo hình vẽ). Gọi \(M\) là điểm di động trên đoạn thẳng \({B_1}{D_1}\) (kể cả hai đầu mút).

Với hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có

\(D\left( {0\,;0\,;0} \right)\), \(A\left( {2\,;0\,;0} \right)\),\(C\left( {0\,;2\,;0} \right)\),\({D_1}\left( {0\,;0\,;1} \right)\),\(B\left( {2\,;2\,;0} \right)\), \({A_1}\left( {2\,;0\,;1} \right)\), \({B_1}\left( {2\,;2\,;1} \right)\), \({C_1}\left( {0\,;2\,;1} \right)\).

a) Trung điểm của \({B_1}{D_1}\) là \(M\left( {1\,;1\,;1} \right).\)

Ta có: \(\overrightarrow {CM}  = \left( {1\,; - 1\,;1} \right)\)

Cặp véc tơ chỉ phương của mặt phẳng \(\left( {B{B_1}{D_1}D} \right)\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {D{D_1}}  = \left( {0\,;0\,;1} \right)\\\overrightarrow {DB}  = \left( {2\,;2\,;0} \right)\end{array}\)

\(\overrightarrow {CM}  \cdot \overrightarrow {D{D_1}}  = 1 \ne 0.\)

Do đó \(\overrightarrow {CM} \) không vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng \(\left( {B{B_1}{D_1}D} \right)\).

Vậy a) Sai.

b) \(M\left( {1\,;1\,;1} \right)\)

\(\overrightarrow {M{C_1}}  = \left( { - 1\,;1\,;0} \right)\)

\(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 2\,;0\,;0} \right)\)

Cosin góc giữa hai đường thẳng:\(\cos \left( {M{C_1};BC} \right) = \frac{{|\overrightarrow {M{C_1}}  \cdot \overrightarrow {BC} |}}{{|\overrightarrow {M{C_1}} ||\overrightarrow {BC} |}} = \frac{2}{{\sqrt 2 .2}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Vậy b) Sai.

c) \({V_{{C_1}.BDM}} = \frac{1}{3}.{S_{\Delta BDM}}.d\left( {{C_1};\left( {BDM} \right)} \right)\).

\({S_{\Delta BDM}}\) và \(d\left( {{C_1};\left( {BDM} \right)} \right)\) không đổi.

Suy ra thể tích khối chóp \({C_1}.BDM\) không đổi.

Vậy c) Đúng.

d) Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(BC\): \({\vec u_{BC}} = \left( {1\,;0\,;0} \right).\)

Phương trình tham số của \(BC\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + k}\\{y = 2}\\{z = 0}\end{array}} \right.\).

Dạng tọa độ điểm \(M\left( {2t\,;2t\,;1} \right)\) với \(0 \le t \le 1.\)

Khoảng cách từ một điểm \(M\) đến đường thẳng \(BC\): \(d\left( {M,BC} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {BM} ,{{\vec u}_{BC}}} \right]} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_{BC}}} \right|}}\).

 \(\overrightarrow {BM}  = \left( {2t - 2\,;2t - 2\,;1 - 0} \right) = \left( {2t - 2\,;2t - 2\,;1} \right)\).

 \(\left[ {\overrightarrow {BM} ,{{\vec u}_{BC}}} \right] = \left( {0\,;1\,;2 - 2t} \right)\).

 \(\left| {\left[ {\overrightarrow {BM} ,{{\vec u}_{BC}}} \right]} \right| = \sqrt {{0^2} + {1^2} + {{(2 - 2t)}^2}}  = \sqrt {1 + {{(2 - 2t)}^2}} \).

\(\left| {{{\vec u}_{BC}}} \right| = 1\).

Suy ra \(d\left( {M,BC} \right) = \sqrt {1 + {{\left( {2 - 2t} \right)}^2}} \).

\(d\left( {M,BC} \right)\) nhỏ nhất khi \(2 - 2t = 0 \Leftrightarrow t = 1\).

 Khi đó \(M\) trùng với điểm \({B_1}\left( {2\,;2\,;1} \right)\).

Vậy giá trị nhỏ nhất bằng \(1\).

Vậy d) Sai.