Trong không gian tọa độ \(Oxyz\), điểm \(A\) là một điểm thuộc mặt cầu tâm \(O\), bán kính \(1\). Điểm \(B\left( {1;1;1} \right)\) không nằm trên đường thẳng \(OA\).

 

Từ \(B\) hạ đường vuông góc \(BP\) xuống đường thẳng \(OA\). Khi quay tam giác \(OBP\) quanh trục \(OP\), ta được một khối tròn xoay có thể tích là \(V\). Khi đó giá trị lớn nhất của \(V\) bằng \(\frac{a}{b}\pi \), trong đó \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính \(a + b\).

Kết luận: a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Đúng

a) Số táo ở thùng A nặng từ 280g trở lên nằm ở hai nhóm [280; 290) và [290; 300].

Số lượng: 4 + 3 = 7 (quả).

Xác suất: \[P = \frac{7}{{25}} = 0,28\]. a) Sai

b) Thùng A: Số táo \[ \ge 270{\rm{g}}\]là: 12 + 4 + 3 = 19 quả. Xác suất \[{P_A} = \frac{{19}}{{25}}\].

Thùng B: Số táo \[ \ge 270{\rm{g}}\]là: 7 + 10 + 4 = 21 quả. Xác suất \[{P_B} = \frac{{21}}{{25}}\].

Xác suất cả hai quả đều \[ \ge 270{\rm{g}}\]: \[P = \frac{{19}}{{25}} \times \frac{{21}}{{25}} = \frac{{399}}{{625}} = 0,6384\]. b) Đúng

c) Thùng A:

Trung bình \[{\bar x_A} = \frac{{2 \cdot 255 + 4 \cdot 265 + 12 \cdot 275 + 4 \cdot 285 + 3 \cdot 295}}{{25}} = 275,8\].

Phương sai \[s_A^2 = \frac{{2 \cdot {{255}^2} +  \ldots  + 3 \cdot {{295}^2}}}{{25}} - {(275,8)^2} = 111,36\].

Thùng B:

Trung bình \[{\bar x_B} = \frac{{1 \cdot 255 + 3 \cdot 265 + 7 \cdot 275 + 10 \cdot 285 + 4 \cdot 295}}{{25}} = 279,8\]

Phương sai \[s_B^2 = \frac{{1 \cdot {{255}^2} +  \ldots  + 4 \cdot {{295}^2}}}{{25}} - {(279,8)^2} = 104,96\]

Vì \[s_A^2 > s_B^2(111,36 > 104,96)\] nên cân nặng ở thùng A phân tán hơn. c) Đúng

d) Tứ phân vị thứ nhất \[{Q_1}\]: Ở vị trí \[\frac{{25}}{4} = 6,25\]. Nhóm chứa \[{Q_1}\] là [270; 280)

\[{Q_1} = 270 + \frac{{6,25 - 6}}{{12}} \cdot 10 \approx 270,21\]

Tứ phân vị thứ ba \[{Q_3}\]: Ở vị trí \[\frac{{3 \cdot 25}}{4} = 18,75\]. Nhóm chứa \[{Q_3}\]là [280; 290) (vì tần số tích lũy đến nhóm trước là 2+4+12=18).

\[{Q_3} = 280 + \frac{{18,75 - 18}}{4} \cdot 10 = 281,875\]

Khoảng tứ phân vị: \[{\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 281,875 - 270,2083... \approx 11,67\](g). d) Đúng

Đáp án: \[36\].

Theo đề bài, ta có phương trình: \[{\log _3}x + {\log _x}729 = 5\]

Đặt \[{\log _3}x = a \Rightarrow x = {3^a}\], ta có: \[{\log _x}729 = {\log _x}{3^6} = 6{\log _x}3 = \frac{6}{{{{\log }_3}x}} = \frac{6}{a}\], thay lên trên ta được:

\[a + \frac{6}{a} = 5 \Leftrightarrow {a^2} - 5a + 6 = 0 \Leftrightarrow {a_1} = 2,{a_2} = 3\]

Suy ra \[{x_1} = {3^2} = 9,{x_2} = {3^3} = 27\]

Tổng các giá trị có thể có của \[x\] là: \[9 + 27 = 36\].