Cho hình lập phương \[ABCD.EFGH\]. Góc giữa cặp vectơ \(\overrightarrow {AF} \) và \(\overrightarrow {EG} \) bằng

Đáp án: 12,3.

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho:

Gốc tọa độ \(O\) trùng với điểm \(A(0,0)\).

Trục \(Ox\) chứa đoạn \(AB\).

Trục \(Oy\) chứa đoạn \(AD\).

Theo giả thiết, các đường tròn có bán kính \(R = 1\) và tâm là trung điểm của\(AD,\,AB\).

Suy ra độ dài cạnh hình vuông là \(2\,{\rm{cm}}\).

Ta có tọa độ các điểm: \(A(0;0)\), \(B(2;0)\), \(D(0;2)\).

Xác định phương trình các đường biên của miền \((R)\)

Miền (R) được giới hạn phía trên bởi hai cung tròn nối tiếp nhau tại điểm \((1;1)\):

Cung thứ nhất: Nằm trên đường tròn tâm \(M(0;1)\) (trung điểm \(AD\)), bán kính \(R = 1\).

Phương trình đường tròn: \({x^2} + {(y - 1)^2} = 1\).

Vì phần miền này nằm phía trên đường \(y = 1\) nên ta có phương trình nhánh trên là:

\(y = {f_1}(x) = 1 + \sqrt {1 - {x^2}} \quad ;x \in [0,1]\)

Cung thứ hai: Nằm trên đường tròn tâm \(N(1;0)\) (trung điểm \(AB\)), bán kính \(R = 1\).

Phương trình đường tròn: \({(x - 1)^2} + {y^2} = 1\).

Vì phần này nằm trên trục \(Ox\) nên ta có phương trình nhánh trên là:

\(y = {f_2}(x) = \sqrt {1 - {{(x - 1)}^2}} \quad ;x \in [1,2]\)

Tính thể tích khối tròn xoay

Thể tích \(V\) khi quay miền \((R)\) quanh trục \(Ox\) (tức cạnh \(AB\)) là tổng thể tích của hai phần:

\(V = \pi \int_0^1 {{{\left( {{f_1}\left( x \right)} \right)}^2}dx + } \pi \int_1^2 {{{\left( {{f_2}\left( x \right)} \right)}^2}dx = {V_1} + {V_2}} \)

Tính \({V_1}\):

\({V_1} = \pi \int_0^1 {{{\left( {1 + \sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^2}} dx = \pi \int_0^1 {\left( {2 - {x^2} + 2\sqrt {1 - {x^2}} } \right)} dx = \pi \left( {\frac{5}{3} + 2 \cdot \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{5\pi }}{3} + \frac{{{\pi ^2}}}{2}\)

Tính \({V_2}\):

Phần này thực chất là thể tích của nửa khối cầu bán kính R=1.

\({V_2} = \pi \int_1^2 {\left( {1 - {{(x - 1)}^2}} \right)} dx = \frac{{2\pi }}{3}\)

Tổng thể tích:

\(V = {V_1} + {V_2} = \left( {\frac{{5\pi }}{3} + \frac{{{\pi ^2}}}{2}} \right) + \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{7\pi }}{3} + \frac{{{\pi ^2}}}{2} \approx 12,265{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}\).

Đáp án: \(18\).

Kẻ \(AM \bot CD\).

Vì \(\widehat {ABC} = 60^\circ \) nên \(M\) là trung điểm \(CD\).

Khi đó \(\left[ {S,CD,B} \right] = \widehat {SMA}\)

Xét \(SAM\) vuông tại \(A\) có \(AM = \frac{{SA}}{{\tan {{60}^0}}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = 3\). Do đó \(AD = 2\sqrt 3 \).

Vì \(\widehat {ABC} = 60^\circ \) nên \(ABC\)là tam giác đều cạnh nên \({S_{ABCD}} = 2{S_{ABC}} = 2.\frac{{{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}.\sqrt 3 }}{4} = 6\sqrt 3 \).

Vậy \({V_{SABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{1}{3}.6\sqrt 3 .3\sqrt 3  = 18\).