PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S).

 Để chuẩn bị cho buổi đồng diễn chào mừng đại hội thể dục thể thao cấp xã, trường THPT X đóng trên địa bàn xã phát động học sinh tự làm các lá cờ nhỏ cầm tay và giao cho học sinh hai khối 11, 12 của nhà trường thực hiện. Các lá cờ có cán bị cong hoặc phần lá bị rách được coi là bị lỗi, các lá cờ còn lại được coi là lá cờ tốt. Tỉ lệ sản phẩm là lá cờ bị lỗi của khối 11 và khối 12 lần lượt là \(3\% \) và \(2\% \). Trong một lô sản phẩm gồm các lá cờ để lẫn lộn 110 lá cờ của khối 11 và 90 lá cờ của khối 12. Lấy ngẫu nhiên một lá cờ từ lô cờ đó.

Đáp án: 12,3.

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho:

Gốc tọa độ \(O\) trùng với điểm \(A(0,0)\).

Trục \(Ox\) chứa đoạn \(AB\).

Trục \(Oy\) chứa đoạn \(AD\).

Theo giả thiết, các đường tròn có bán kính \(R = 1\) và tâm là trung điểm của\(AD,\,AB\).

Suy ra độ dài cạnh hình vuông là \(2\,{\rm{cm}}\).

Ta có tọa độ các điểm: \(A(0;0)\), \(B(2;0)\), \(D(0;2)\).

Xác định phương trình các đường biên của miền \((R)\)

Miền (R) được giới hạn phía trên bởi hai cung tròn nối tiếp nhau tại điểm \((1;1)\):

Cung thứ nhất: Nằm trên đường tròn tâm \(M(0;1)\) (trung điểm \(AD\)), bán kính \(R = 1\).

Phương trình đường tròn: \({x^2} + {(y - 1)^2} = 1\).

Vì phần miền này nằm phía trên đường \(y = 1\) nên ta có phương trình nhánh trên là:

\(y = {f_1}(x) = 1 + \sqrt {1 - {x^2}} \quad ;x \in [0,1]\)

Cung thứ hai: Nằm trên đường tròn tâm \(N(1;0)\) (trung điểm \(AB\)), bán kính \(R = 1\).

Phương trình đường tròn: \({(x - 1)^2} + {y^2} = 1\).

Vì phần này nằm trên trục \(Ox\) nên ta có phương trình nhánh trên là:

\(y = {f_2}(x) = \sqrt {1 - {{(x - 1)}^2}} \quad ;x \in [1,2]\)

Tính thể tích khối tròn xoay

Thể tích \(V\) khi quay miền \((R)\) quanh trục \(Ox\) (tức cạnh \(AB\)) là tổng thể tích của hai phần:

\(V = \pi \int_0^1 {{{\left( {{f_1}\left( x \right)} \right)}^2}dx + } \pi \int_1^2 {{{\left( {{f_2}\left( x \right)} \right)}^2}dx = {V_1} + {V_2}} \)

Tính \({V_1}\):

\({V_1} = \pi \int_0^1 {{{\left( {1 + \sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^2}} dx = \pi \int_0^1 {\left( {2 - {x^2} + 2\sqrt {1 - {x^2}} } \right)} dx = \pi \left( {\frac{5}{3} + 2 \cdot \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{5\pi }}{3} + \frac{{{\pi ^2}}}{2}\)

Tính \({V_2}\):

Phần này thực chất là thể tích của nửa khối cầu bán kính R=1.

\({V_2} = \pi \int_1^2 {\left( {1 - {{(x - 1)}^2}} \right)} dx = \frac{{2\pi }}{3}\)

Tổng thể tích:

\(V = {V_1} + {V_2} = \left( {\frac{{5\pi }}{3} + \frac{{{\pi ^2}}}{2}} \right) + \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{7\pi }}{3} + \frac{{{\pi ^2}}}{2} \approx 12,265{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}\).

Đáp án: 6

Gọi \(\overrightarrow v \) là vectơ vận tốc của cabin, ta có \(\overrightarrow v  = k\overrightarrow u \) với \(k > 0\)

\( \Rightarrow k = \frac{{\left| {\overrightarrow v } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \frac{4}{{\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {6^2}} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{5}\) \( \Rightarrow \overrightarrow v  = \frac{{\sqrt {10} }}{5}\overrightarrow u  = \left( {0; - \frac{{2\sqrt {10} }}{5};\frac{{6\sqrt {10} }}{5}} \right)\)

Do đó, \(\overrightarrow {AM}  = t\overrightarrow v  = 5\overrightarrow v  = 5\left( {0; - \frac{{2\sqrt {10} }}{5};\frac{{6\sqrt {10} }}{5}} \right) = \left( {0; - 2\sqrt {10} ;6\sqrt {10} } \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 2 = 0\\b - 1 =  - 2\sqrt {10} \\c - 5 = 6\sqrt {10} \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b = 1 - 2\sqrt {10} \\c = 5 + 6\sqrt {10} \end{array} \right.\) \( \Rightarrow M\left( { - 2;1 - 2\sqrt {10} ;5 + 6\sqrt {10} } \right)\)

\( \Rightarrow a + 3b + c =  - 2 + 3\left( {1 - 2\sqrt {10} } \right) + \left( {5 + 6\sqrt {10} } \right) = 6\).