Cho biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 1}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} - \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{2}{{x - 1}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1\).

1. Tính giá trị biểu thức \(A\) tại \(x = 9\).

2. Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\).

3. Cho \(P = A.B\). Tìm các giá trị của \(x\) để \({P^2} = P\).

Bác Hà có một mảnh vườn hình tam giác bên cạnh một dòng suối (dòng suối coi như một đường thẳng). Bác cần rào mảnh vườn đó và sử dụng hai đoạn hàng rào tạo thành góc vuông (hình bên). Cạnh huyền của tam giác được tạo bởi dòng suối và bác không làm hàng rào dọc theo cạnh này. Chi phí làm hàng rào cho hai cạnh góc vuông lần lượt là \[500\,\,000\] đồng/m và 400 000 đồng/m. Biết bác Hà đã dùng 10 000 000 đồng làm hàng rào để được mảnh vườn có diện tích lớn nhất có thể. Hỏi diện tích lớn nhất đó là bao nhiêu?

Cận thị học đường là tật khúc xạ phổ biến ở học sinh. Lớp 9A có 40 học sinh trong đó có 60% số học sinh nam và 40% số học sinh nữ không bị cận thị. Biết tổng số học sinh nam và học sinh nữ không bị cận thị là 19 học sinh. Tính số học sinh nam và số học sinh nữ của lớp 9A.

Bạn Lan mang 300 000 đồng đi mua bút bi cho lớp. Biết giá mỗi chiếc bút bi là 7 000 đồng. Bạn Lan mua được nhiều nhất bao nhiêu chiếc bút bi?

Cho nửa đường tròn \(\left( O \right)\), đường kính \(AB\). Kẻ tiếp tuyến \(Bx\) với \(\left( O \right)\). Lấy điểm \(M\) trên tia \(Bx\) \(\left( {M \ne B} \right),\) \(AM\) cắt nửa đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm \(N\) \(\left( {N \ne A} \right).\) Kẻ \(OE\) vuông góc với \(AN\) tại \(E\).

(a) Chứng minh bốn điểm \(E,O,B,M\) cùng thuộc một đường tròn.

(b) Tiếp tuyến của nửa đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(N\) cắt tia \(OE\) tại \(K\) và cắt \(MB\) tại \(D\). Chứng minh \(KA\) là tiếp tuyến của nửa đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\widehat {EBO} = \widehat {DOM}\).

(c) Kẻ \(NH \bot AB\) (\(H \in AB\)). Đường thẳng \(NH\) cắt đường thẳng \(KO\) tại \(P\), cắt \(OD\) tại \(Q\).

Đường thẳng \(AQ\) cắt đường thẳng \(PB\) tại \(S\). Chứng minh \(K,N,S\) thẳng hàng.

Trong rạp chiếu phim, người ta thường thấy có một khu vực chuyên bán bỏng ngô phục vụ cho khách trong quá trình thưởng thức bộ phim. Loại cốc đựng bỏng ngô thường được làm bằng giấy. Cốc chỉ có đáy, không có nắp, dạng hình trụ có chiều cao 20 cm và bán kính đáy 5 cm như hình bên.

(Lấy \(\pi \approx 3,14\) và coi chiều dày của cốc không đáng kể).

(a) Tính thể tích của cốc đựng bỏng ngô.

(b) Tính diện tích giấy để làm 200 chiếc cốc như trên.

Biết phương trình \({x^2} - 8x + 4 = 0\) có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\). Tính giá trị biểu thức \(Q = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}\).