Bác Hà có một mảnh vườn hình tam giác bên cạnh một dòng suối (dòng suối coi như một đường thẳng). Bác cần rào mảnh vườn đó và sử dụng hai đoạn hàng rào tạo thành góc vuông (hình bên). Cạnh huyền của tam giác được tạo bởi dòng suối và bác không làm hàng rào dọc theo cạnh này. Chi phí làm hàng rào cho hai cạnh góc vuông lần lượt là \[500\,\,000\] đồng/m và 400 000 đồng/m. Biết bác Hà đã dùng 10 000 000 đồng làm hàng rào để được mảnh vườn có diện tích lớn nhất có thể. Hỏi diện tích lớn nhất đó là bao nhiêu?

a) Chứng minh bốn điểm \(E,O,B,M\) cùng thuộc một đường tròn.

Ta có \(Bx\) là tiếp tuyến của nửa đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(Bx \bot AB\) (tính chất tiếp tuyến) hay \(\widehat {MBO} = 90^\circ \).

Suy ra \(\Delta MBO\) nội tiếp đường tròn đường kính \(OM\).

Do đó ba điểm \(M,B,O\) cùng thuộc 1 đường tròn đường kính \(OM\).

Mà \(OE\) vuông góc với \(AN\) tại \(E\) nên \(\widehat {MOE} = 90^\circ \).

Suy ra \(\Delta MEO\) nội tiếp đường tròn đường kính \(OM\)

Do đó 3 điểm \(M,O,E\) cùng thuộc 1 đường tròn đường kính \(OM\).

Vậy 4 điểm \(E,O,B,M\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OM\).

b) Tiếp tuyến của nửa đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(N\) cắt tia \(OE\) tại \(K\) và cắt \(MB\) tại \(D\). Chứng minh: \(KA\) là tiếp tuyến của nửa đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\widehat {EBO} = \widehat {DOM}\).

b1) Ta có \(OA = ON\,\,\left( { = R} \right)\) nên \(\Delta OAN\) cân tại \(O\).

Mà \(OE\) là đường cao của \(\Delta OAN\) nên \(OE\) cũng là phân giác của \(\Delta OAN\).

Suy ra \(\widehat {NOE} = \widehat {AOE}\) hay \(\widehat {NOK} = \widehat {AOK}\).

Xét \(\Delta NOK\) và \(\Delta AOK\) có:

\[ON = OA\,\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)\,;\,\,\widehat {NOK} = \widehat {AOK}\,\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)\,;\,\,OK\,\,{\rm{chung}}\]

Do đó \[\Delta NOK = \Delta AOK\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)\]

Suy ra \(\widehat {ONK} = \widehat {OAK}\) (cặp góc tương ứng)

Mà \(\widehat {ONK} = 90^\circ \) (vì \(KN\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên \(\widehat {OAK} = 90^\circ \).

Suy ra \(AK \bot OA\), mà \(A \in \left( O \right)\).

Do đó \(KA\) là tiếp tuyến của nửa đường tròn \(\left( O \right)\).

b2) Vì \(DN,\,\,DB\) là 2 tiếp tuyến là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(D\) của nửa đường tròn \(\left( O \right)\).

Suy ra \(OD\) là tia phân giác \(\widehat {NOB}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Mà tam giác \(OBN\) cân tại \(O{\rm{ }}\left( {OB = ON = R} \right)\)nên \(OD\) là đường cao của \(\Delta OBN\) hay \(BN \bot OD\) .

Ta có \(\widehat {ANB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa \(\left( O \right)\) nên \(BN \bot AN\).

Từ đó, suy ra \(OD\,{\rm{//}}\,AM\) nên \(\widehat {OME} = \widehat {DOM}\) (hai góc so le trong) (1)

Suy ra 4 điểm \(E,\,\,O,\,\,B,\,\,M\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OM.\)

Nên xét đường tròn đường kính \(OM\) có \(\widehat {EBO} = \widehat {EMO}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(OE\)) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {EBO} = \widehat {DOM}\).

c) Kẻ \(NH \bot AB{\rm{ }}\left( {H \in AB} \right)\). Đường thẳng \(NH\) cắt đường thẳng \(KO\) tại \(P\), cắt \(OD\) tại \(Q\). Đường thẳng \(AQ\) cắt đường thẳng \(PB\) tại \(S\). Chứng minh \(K,N,S\) thẳng hàng.

Chứng minh được \(O\) lần lượt là trực tâm của các tam giác \(APN\) nên \(AP \bot NO\).

Chứng minh được \(Q\) lần lượt là trực tâm của \(\Delta BON\) nên \(BQ \bot NO\) suy ra \(BQ\,{\rm{//}}\,AP\).

Suy ra \(\frac{{SQ}}{{SA}} = \frac{{QB}}{{AP}}\), mà \(PA = PN\,;\,\,QB = QN\) nên \(\frac{{SQ}}{{SA}} = \frac{{QN}}{{PN}}\) hay \(\frac{{SQ}}{{QA}} = \frac{{NQ}}{{QP}}\).

Suy ra \(PA\,{\rm{//}}\,NS\) mà \(AP \bot NO\) nên \(NS \bot NO\).

Ta có \(NS \bot NO\,;\,\,KN \bot NO\) suy ra ba điểm \(K,N,S\) thẳng hàng.

Gọi số bút bi mà bạn Lan mua là \(x\) (chiếc, \(x \in \mathbb{N}*\)) .

Giá tiền của \(x\) chiếc bút bi là \(7000x\) (đồng).

Theo đề bài, ta có bất phương trình \(7000x \le 300\,\,000\).

\(x \le \frac{{300}}{7}\)

\(x \le 42\frac{6}{7}\).

Vì \(x\) là số tự nhiên nên giá trị lớn nhất của \(x\) là 42.

Vậy bạn Lan mua được nhiều nhất là 42 chiếc bút bi.