Hai tổ sản xuất được giao làm 800 sản phẩm trong một thời gian quy định. Nhờ tăng năng suất lao động, tổ I làm vượt mức 10%, tổ II làm vượt mức 20% nên cả hai tổ đã làm được 910 sản phẩm. Tính số sản phẩm mà mỗi tổ đã làm được?

a) Vì \(BE,{\rm{ }}CF\) là hai đường cao của tam giác \(ABC\) nên \(BE \bot AC,\,\,CF \bot AB\left( {E \in AC,\,\,F \in AB} \right)\) suy ra \(\widehat {BEC} = \widehat {BFC} = 90^\circ .\)

Từ đó chứng minh được bốn điểm \(B,C,E,F\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\) hay tứ giác \(BCEF\) nội tiếp thuộc đường tròn đường kính \(BC\).

Chứng minh được \(\Delta AEF\) và \(\Delta ABC\) đồng dạng.

Suy ra: \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}}\) nên \(AE.AC = AF.AB\).

b) Gọi \(G\)là giao điểm của \(AP\) và \[FE.\]

Chứng minh: \(\widehat {AEF} = \widehat {ABC} = \widehat {APC}\)

Chứng minh: \(\Delta AEG\)và \(\Delta APC\) đồng dạng.

Suy ra: \(\widehat {AGE} = \widehat {ACP} = 90^\circ \). Do đó \(AP \bot EF\) tại \(G.\)

Chứng minh \(IF = IE = \frac{{AH}}{2} \Rightarrow \Delta IEF\) cân tại \(I.\)

Mà \(IK\) là đường trung tuyến của \(\Delta IEF\) (do \(I\) là trung điểm của \[EF\]) nên \(IK\) đồng thời là đường cao của \(\Delta IEF\) suy ra \(IK \bot EF\).

Lại có: \(AP \bot EF\)(cmt) nên \(IK\,{\rm{//}}\,AP\) (đpcm)

c) Gọi \(D\) là giao điểm của \(AH\)và \(BC.\)

Chứng minh \(H\) là trực tâm của \(\Delta ABC,\) suy ra \(AH \bot BC\) tại \(D\)

Chứng minh tứ giác \(BHCP\) là hình bình hành. Suy ra 3 điểm \(H,M,P\) thẳng hàng.

Mà 3 điểm \(H,M,N\) thẳng hàng ( gt) nên 4 điểm \(H,M,N,P\) thẳng hàng.

Từ đó chứng minh được \(\widehat {ANM} = \widehat {ANP} = 90^\circ \) (do \(\widehat {ANP} = 90^\circ \) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).

Chứng minh tứ giác \(ANDM\)nội tiếp đường tròn đường kính \(AM.\)

Suy ra: \(\widehat {NAD} = \widehat {NMD}\)( hai góc nội tiếp cùng chắn hay \(\widehat {HMB} = \widehat {NAH}.\)

Xét phương trình bậc hai: \({x^2} + x - 2 = 0{\rm{ }}(a = 1;b = 1;c = - 2)\)

Vì \(\Delta = 9 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\)

Áp dụng định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 1\\{x_1}.{x_2} = - 2\end{array} \right.\).

Vì \({x_2}\) là nghiệm của phương trình đã cho nên \(x_2^2 + {x_2} - 2 = 0\)

Suy ra \(\sqrt { - 3{x_2} + 3} = \sqrt {( - 3{x_2} + 3) + (x_2^2 + {x_2} - 2)} = \sqrt {x_2^2 - 2{x_2} + 1} = \sqrt {{{\left( {{x_2} - 1} \right)}^2}} = \left| {{x_2} - 1} \right|\)

Từ hệ thức Viète suy ra \({x_1};{x_2}\) trái dấu nhau mà \({x_1} > {x_2}\) nên \({x_1} > 0;{x_2} < 0\)

\(3\left| {{x_1}} \right| = 3{x_1};4\left| {{x_2}} \right| = - 4{x_2};{x_2} - 1 < 0\) suy ra \(\left| {{x_2} - 1} \right| = 1 - {x_2}\)

\(M = 3{x_1} + 4{x_2} + 1 - {x_2} = 3{x_1} + 3{x_2} + 1 = 3({x_1} + {x_2}) + 1 = 3.( - 1) + 1 = - 2.\)