Cho tam giác \(ABC\) nhọn \(\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn \((O)\) đường kính \(AP.\) Các đường cao \(BE,{\rm{ }}CF\) cắt nhau tại \(H.\)
(a) Chứng minh tứ giác \(BCEF\) là tứ giác nội tiếp và \(AE.AC = AF.AB.\)
(b) Gọi \(K,\,\,I,\,\,M\) lần lượt là trung điểm của \(EF,\,\,AH\) và \(BC.\) Chứng minh \(AP \bot EF\) và \(IK\,{\rm{//}}\,AP.\)
(c) Gọi \(N\) là giao điểm của \(MH\) với cung nhỏ \(AB\) của đường tròn \((O).\) Chứng minh \(\widehat {HMB} = \widehat {NAH}.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Vì \(BE,{\rm{ }}CF\) là hai đường cao của tam giác \(ABC\) nên \(BE \bot AC,\,\,CF \bot AB\left( {E \in AC,\,\,F \in AB} \right)\) suy ra \(\widehat {BEC} = \widehat {BFC} = 90^\circ .\)
Từ đó chứng minh được bốn điểm \(B,C,E,F\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\) hay tứ giác \(BCEF\) nội tiếp thuộc đường tròn đường kính \(BC\).
Chứng minh được \(\Delta AEF\) và \(\Delta ABC\) đồng dạng.
Suy ra: \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}}\) nên \(AE.AC = AF.AB\).
b) Gọi \(G\)là giao điểm của \(AP\) và \[FE.\]
Chứng minh: \(\widehat {AEF} = \widehat {ABC} = \widehat {APC}\)
Chứng minh: \(\Delta AEG\)và \(\Delta APC\) đồng dạng.
Suy ra: \(\widehat {AGE} = \widehat {ACP} = 90^\circ \). Do đó \(AP \bot EF\) tại \(G.\)
Chứng minh \(IF = IE = \frac{{AH}}{2} \Rightarrow \Delta IEF\) cân tại \(I.\)
Mà \(IK\) là đường trung tuyến của \(\Delta IEF\) (do \(I\) là trung điểm của \[EF\]) nên \(IK\) đồng thời là đường cao của \(\Delta IEF\) suy ra \(IK \bot EF\).
Lại có: \(AP \bot EF\)(cmt) nên \(IK\,{\rm{//}}\,AP\) (đpcm)
c) Gọi \(D\) là giao điểm của \(AH\)và \(BC.\)
Chứng minh \(H\) là trực tâm của \(\Delta ABC,\) suy ra \(AH \bot BC\) tại \(D\)
Chứng minh tứ giác \(BHCP\) là hình bình hành. Suy ra 3 điểm \(H,M,P\) thẳng hàng.
Mà 3 điểm \(H,M,N\) thẳng hàng ( gt) nên 4 điểm \(H,M,N,P\) thẳng hàng.
Từ đó chứng minh được \(\widehat {ANM} = \widehat {ANP} = 90^\circ \) (do \(\widehat {ANP} = 90^\circ \) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).
Chứng minh tứ giác \(ANDM\)nội tiếp đường tròn đường kính \(AM.\)
Suy ra: \(\widehat {NAD} = \widehat {NMD}\)( hai góc nội tiếp cùng chắn hay \(\widehat {HMB} = \widehat {NAH}.\)
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Xét phương trình bậc hai: \({x^2} + x - 2 = 0{\rm{ }}(a = 1;b = 1;c = - 2)\)
Vì \(\Delta = 9 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\)
Áp dụng định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 1\\{x_1}.{x_2} = - 2\end{array} \right.\).
Vì \({x_2}\) là nghiệm của phương trình đã cho nên \(x_2^2 + {x_2} - 2 = 0\)
Suy ra \(\sqrt { - 3{x_2} + 3} = \sqrt {( - 3{x_2} + 3) + (x_2^2 + {x_2} - 2)} = \sqrt {x_2^2 - 2{x_2} + 1} = \sqrt {{{\left( {{x_2} - 1} \right)}^2}} = \left| {{x_2} - 1} \right|\)
Từ hệ thức Viète suy ra \({x_1};{x_2}\) trái dấu nhau mà \({x_1} > {x_2}\) nên \({x_1} > 0;{x_2} < 0\)
\(3\left| {{x_1}} \right| = 3{x_1};4\left| {{x_2}} \right| = - 4{x_2};{x_2} - 1 < 0\) suy ra \(\left| {{x_2} - 1} \right| = 1 - {x_2}\)
\(M = 3{x_1} + 4{x_2} + 1 - {x_2} = 3{x_1} + 3{x_2} + 1 = 3({x_1} + {x_2}) + 1 = 3.( - 1) + 1 = - 2.\)
Lời giải
Theo giả thiết mỗi chiếc nón lá là một hình nón có bán kính đáy
\(R = \frac{{50}}{2} = 25cm = 0,25m\); chiều cao \(h = 30cm = 0,3m\)
Độ dài đường sinh hình nón là \(l = \sqrt {{R^2} + {h^2}} = \sqrt {0,{{25}^2} + 0,{3^2}} = \frac{{\sqrt {61} }}{{20}}\left( m \right)\)
Diện tích xung quanh hình nón là \({S_1} = \pi Rl = \pi 0,25 \cdot \frac{{\sqrt {61} }}{{20}} = \pi \frac{{\sqrt {61} }}{{80}}\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)
Tổng diện tích xung quanh của \(1600\) chiếc nón lá là:\(S = 1600{S_1} = 1600 \cdot \pi \frac{{\sqrt {61} }}{{80}} = 20\pi \sqrt {61} \,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)
Do đó khối lượng lá cần dùng là: \(\frac{S}{{6,13}} = \frac{{20\pi \sqrt {61} }}{{6,13}} \approx 80\left( {kg} \right)\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập