Cho tam giác \(ABC\) nhọn \(\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn \(\left( {O\,;\,\,10{\rm{ cm}}} \right)\). Các đường cao \(AK,\,\,BE,\,\,CF\) cắt nhau tại \(H\). Kẻ đường kính \(AD\) của đường tròn \((O)\) và \(AD\) cắt \(EF\) tại \(I.\)
(a) Chứng minh tam giác \(ABD\) vuông tại \(B\) và .
(b) Gọi \(M\) là giao điểm của \(EF\) và \(AH\), \(N\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC\).
(c) Gọi \(S\) là trung điểm \(BC\). Giả sử \(\widehat {BDC} = 120^\circ \) và \(AB = 12{\rm{cm}}\). Tính độ dài đoạn thẳng \[KS\] và \(MN\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Vì \[\widehat {ABD} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\)) nên tam giác \(ABD\) vuông tại \(B\).
Xét \(\Delta ABK\) và \(\Delta ADC\) có
\[\widehat {AKB} = \widehat {ADC} = 90^\circ \,;\,\,\widehat {ABK} = \widehat {ADC}\] (cùng chắn cung \[AC\] của đường tròn \(\left( O \right))\).
Do đó (g.g)
b) Chứng minh được \(BFEC\) là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {AEF} = \widehat {ABC}\) (cùng bù với \(\widehat {FEC}\)).
Mà \(\widehat {ADC} = \widehat {ABC}\) (cùng chắn cung \[AC\] của \(\left( O \right))\) nên \(\widehat {AEF} = \widehat {ADC}\).
Ta có \(\widehat {ACD} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right))\) nên \(\widehat {AEI} + \widehat {IAE} = \widehat {ADC} + \widehat {IAE} = 90^\circ \).
Suy ra \(MINK\) là tứ giác nội tiếp.
c) Ta có \(\widehat {BAC} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
Xét \[\Delta ABE\] vuông tại \[E,\] tính được \(AE = 6{\rm{ cm}}\) và \(BE = 6\sqrt 3 {\rm{ cm}}\).
Tam giác \[OSC\] vuông tại \[S\] có \(\widehat {SOC} = \frac{1}{2}\widehat {BOC} = \widehat {BAC} = 60^\circ \), tính được \(OS = 5{\rm{ cm}}\) và \(SC = 5\sqrt 3 {\rm{ cm}}\).
Suy ra \(BC = 10\sqrt 3 {\rm{ cm}}\) nên \(EC = \sqrt {B{C^2} - B{E^2}} = 8\sqrt 3 {\rm{ cm}}\) nên \(AC = 8\sqrt 3 + 6{\rm{ cm}}\).
Từ câu a, ta có \(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AK}}{{AC}}\) suy ra \(AB.AC = AD.AK\).
Do đó \(AK = \frac{{AB.AC}}{{AD}} = \frac{{18 + 24\sqrt 3 }}{5}\).
Nên \(BK = \sqrt {A{B^2} - A{K^2}} \approx 1,4{\rm{ cm}}\) nên \(KS = BS - BK = 5\sqrt 3 - 1,4 \approx 7,2{\rm{ cm}}\).
Chứng minh được \(AH = 2OS = 10{\rm{ cm}}\) nên \(HK = AK - AH = \frac{{ - 32 + 24\sqrt 3 }}{5}\).
Suy ra \(HS = \sqrt {K{S^2} + H{K^2}} \approx 7,5{\rm{ cm}}\) nên \(HD \approx 15{\rm{ cm}}\).
Chứng minh được \[OS\,{\rm{//}}\,AK\] nên \(\frac{{OS}}{{AK}} = \frac{{ON}}{{AN}}\) suy ra \(\frac{{OS}}{{AK}} = \frac{{AN - 10}}{{AN}}\), do đó \(AN \approx 17,2{\rm{ cm}}\).
Chứng minh được \[MN\,{\rm{//}}\,HD\] nên \(\frac{{MN}}{{HD}} = \frac{{AN}}{{AD}}\) suy ra \(MN \approx 12,9{\rm{ cm}}\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Thể tích của viên sô-cô-la là: \(V = \frac{4}{3}\pi {2^3} = \frac{{32}}{3}\pi \,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
b) Bán kính viên sô-cô-la là \(OI = OK = 2{\rm{ cm}}\).
\(SO = SI - OI = 6 - 2 = 4{\rm{ cm}}\).
Xét \(\Delta SKO\) vuông tại \(K\) có: \(SK = \sqrt {S{O^2} - O{K^2}} = \sqrt {{4^2} - {2^2}} = 2\sqrt 3 {\rm{ (cm)}}\).
Xét \(\Delta SKO\) và \(\Delta SIH\) có: \(\widehat {SKO} = \widehat {SIH} = 90^\circ \,;\) \(\widehat {IAH}\) chung.
Do đó (g.g)
Suy ra \(\frac{{SK}}{{SI}} = \frac{{SO}}{{SH}} = \frac{{OK}}{{IH}}\) hay \(\frac{{2\sqrt 3 }}{6} = \frac{4}{{SH}} = \frac{2}{{IH}}\).
Do đó \(SH = \frac{{6 \cdot 4}}{{2\sqrt 3 }} = 4\sqrt 3 ;IH = \frac{{2 \cdot 6}}{{2\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 \).
Diện tích giấy tối thiểu để làm một hộp là:
\({S_{tp}} = \pi \cdot 2\sqrt 3 \cdot 4\sqrt 3 + \pi {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} = 36\pi \approx 113,1\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Vậy diện tích giấy tối thiểu để làm một hộp khoảng \(113,1\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)
Lời giải
a) Gọi \(a\) (m) là chu vi hình chữ nhật \(ABCD\) (\(a > 0\)).
Khi gặp nhau lần đầu tại \(E\), vì thời gian trượt ván của 2 bạn như nhau nên quãng đường mỗi bạn đi được tỉ lệ thuận với tốc độ trượt ván mà tốc độ trượt ván của Nam gấp đôi tốc độ trượt ván của Minh.
Do đó, quãng đường Nam trượt ván là \(\frac{2}{3}a\) và Minh trượt ván là \(\frac{1}{3}a\).
Khi gặp nhau lần hai tại \[F,\] tổng quãng đường Nam đi được là \(a + 100\) nên quãng đường Nam chạy bộ là \(a + 100 - \frac{2}{3}a = \frac{1}{3}a + 100\).
Mặt khác, tổng quãng đường Minh đi được là \(a - 100\) nên quãng đường Minh chạy bộ là
\(a - 100 - \frac{1}{3}a = \frac{2}{3}a - 100\).
Do thời gian chạy bộ của 2 bạn như nhau và tốc độ chạy bộ của Minh gấp rưỡi tốc độ chạy bộ của Nam nên \(\frac{2}{3}a - 100 = \frac{3}{2}\left( {\frac{1}{3}a + 100} \right)\) suy ra \(a = 1500\).
b) Gọi \(x\) (m/phút) là tốc độ chạy bộ của Nam. Suy ra:
Tốc độ trượt ván của Minh là \(2x\) (m/phút)
Tốc độ trượt ván của Nam là \(4x\) (m/phút)
Tốc độ chạy bộ của Minh là \(1,5x\) (m/phút)
Tổng thời gian di chuyển của Nam từ lúc xuất phát đến lúc gặp nhau lần 2 là 17 phút nên ta có phương trình \(\frac{{\frac{1}{3} \cdot 1500 + 100}}{x} + \frac{{\frac{2}{3} \cdot 1500}}{{4x}} = 17\).
Giải phương trình tìm được \(x = 50\) (m/phút).
Do đó thời gian Nam trượt ván đến E là \(\frac{{\frac{2}{3} \cdot 1500}}{{4 \cdot 50}} = 5\) (phút).
Vậy hai bạn gặp nhau lần đầu lúc 8 giờ 5 phút.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập