Cho tam giác \(ABC\) nhọn \(\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn \(\left( {O\,;\,\,10{\rm{ cm}}} \right)\). Các đường cao \(AK,\,\,BE,\,\,CF\) cắt nhau tại \(H\). Kẻ đường kính \(AD\) của đường tròn \((O)\) và \(AD\) cắt \(EF\) tại \(I.\)
(a) Chứng minh tam giác \(ABD\) vuông tại \(B\) và .
(b) Gọi \(M\) là giao điểm của \(EF\) và \(AH\), \(N\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC\).
(c) Gọi \(S\) là trung điểm \(BC\). Giả sử \(\widehat {BDC} = 120^\circ \) và \(AB = 12{\rm{cm}}\). Tính độ dài đoạn thẳng \[KS\] và \(MN\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Vì \[\widehat {ABD} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\)) nên tam giác \(ABD\) vuông tại \(B\).
Xét \(\Delta ABK\) và \(\Delta ADC\) có
\[\widehat {AKB} = \widehat {ADC} = 90^\circ \,;\,\,\widehat {ABK} = \widehat {ADC}\] (cùng chắn cung \[AC\] của đường tròn \(\left( O \right))\).
Do đó (g.g)
b) Chứng minh được \(BFEC\) là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {AEF} = \widehat {ABC}\) (cùng bù với \(\widehat {FEC}\)).
Mà \(\widehat {ADC} = \widehat {ABC}\) (cùng chắn cung \[AC\] của \(\left( O \right))\) nên \(\widehat {AEF} = \widehat {ADC}\).
Ta có \(\widehat {ACD} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right))\) nên \(\widehat {AEI} + \widehat {IAE} = \widehat {ADC} + \widehat {IAE} = 90^\circ \).
Suy ra \(MINK\) là tứ giác nội tiếp.
c) Ta có \(\widehat {BAC} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
Xét \[\Delta ABE\] vuông tại \[E,\] tính được \(AE = 6{\rm{ cm}}\) và \(BE = 6\sqrt 3 {\rm{ cm}}\).
Tam giác \[OSC\] vuông tại \[S\] có \(\widehat {SOC} = \frac{1}{2}\widehat {BOC} = \widehat {BAC} = 60^\circ \), tính được \(OS = 5{\rm{ cm}}\) và \(SC = 5\sqrt 3 {\rm{ cm}}\).
Suy ra \(BC = 10\sqrt 3 {\rm{ cm}}\) nên \(EC = \sqrt {B{C^2} - B{E^2}} = 8\sqrt 3 {\rm{ cm}}\) nên \(AC = 8\sqrt 3 + 6{\rm{ cm}}\).
Từ câu a, ta có \(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AK}}{{AC}}\) suy ra \(AB.AC = AD.AK\).
Do đó \(AK = \frac{{AB.AC}}{{AD}} = \frac{{18 + 24\sqrt 3 }}{5}\).
Nên \(BK = \sqrt {A{B^2} - A{K^2}} \approx 1,4{\rm{ cm}}\) nên \(KS = BS - BK = 5\sqrt 3 - 1,4 \approx 7,2{\rm{ cm}}\).
Chứng minh được \(AH = 2OS = 10{\rm{ cm}}\) nên \(HK = AK - AH = \frac{{ - 32 + 24\sqrt 3 }}{5}\).
Suy ra \(HS = \sqrt {K{S^2} + H{K^2}} \approx 7,5{\rm{ cm}}\) nên \(HD \approx 15{\rm{ cm}}\).
Chứng minh được \[OS\,{\rm{//}}\,AK\] nên \(\frac{{OS}}{{AK}} = \frac{{ON}}{{AN}}\) suy ra \(\frac{{OS}}{{AK}} = \frac{{AN - 10}}{{AN}}\), do đó \(AN \approx 17,2{\rm{ cm}}\).
Chứng minh được \[MN\,{\rm{//}}\,HD\] nên \(\frac{{MN}}{{HD}} = \frac{{AN}}{{AD}}\) suy ra \(MN \approx 12,9{\rm{ cm}}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Gọi \(a\) (m) là chu vi hình chữ nhật \(ABCD\) (\(a > 0\)).
Khi gặp nhau lần đầu tại \(E\), vì thời gian trượt ván của 2 bạn như nhau nên quãng đường mỗi bạn đi được tỉ lệ thuận với tốc độ trượt ván mà tốc độ trượt ván của Nam gấp đôi tốc độ trượt ván của Minh.
Do đó, quãng đường Nam trượt ván là \(\frac{2}{3}a\) và Minh trượt ván là \(\frac{1}{3}a\).
Khi gặp nhau lần hai tại \[F,\] tổng quãng đường Nam đi được là \(a + 100\) nên quãng đường Nam chạy bộ là \(a + 100 - \frac{2}{3}a = \frac{1}{3}a + 100\).
Mặt khác, tổng quãng đường Minh đi được là \(a - 100\) nên quãng đường Minh chạy bộ là
\(a - 100 - \frac{1}{3}a = \frac{2}{3}a - 100\).
Do thời gian chạy bộ của 2 bạn như nhau và tốc độ chạy bộ của Minh gấp rưỡi tốc độ chạy bộ của Nam nên \(\frac{2}{3}a - 100 = \frac{3}{2}\left( {\frac{1}{3}a + 100} \right)\) suy ra \(a = 1500\).
b) Gọi \(x\) (m/phút) là tốc độ chạy bộ của Nam. Suy ra:
Tốc độ trượt ván của Minh là \(2x\) (m/phút)
Tốc độ trượt ván của Nam là \(4x\) (m/phút)
Tốc độ chạy bộ của Minh là \(1,5x\) (m/phút)
Tổng thời gian di chuyển của Nam từ lúc xuất phát đến lúc gặp nhau lần 2 là 17 phút nên ta có phương trình \(\frac{{\frac{1}{3} \cdot 1500 + 100}}{x} + \frac{{\frac{2}{3} \cdot 1500}}{{4x}} = 17\).
Giải phương trình tìm được \(x = 50\) (m/phút).
Do đó thời gian Nam trượt ván đến E là \(\frac{{\frac{2}{3} \cdot 1500}}{{4 \cdot 50}} = 5\) (phút).
Vậy hai bạn gặp nhau lần đầu lúc 8 giờ 5 phút.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Thể tích của viên sô-cô-la là: \(V = \frac{4}{3}\pi {2^3} = \frac{{32}}{3}\pi \,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
b) Bán kính viên sô-cô-la là \(OI = OK = 2{\rm{ cm}}\).
\(SO = SI - OI = 6 - 2 = 4{\rm{ cm}}\).
Xét \(\Delta SKO\) vuông tại \(K\) có: \(SK = \sqrt {S{O^2} - O{K^2}} = \sqrt {{4^2} - {2^2}} = 2\sqrt 3 {\rm{ (cm)}}\).
Xét \(\Delta SKO\) và \(\Delta SIH\) có: \(\widehat {SKO} = \widehat {SIH} = 90^\circ \,;\) \(\widehat {IAH}\) chung.
Do đó (g.g)
Suy ra \(\frac{{SK}}{{SI}} = \frac{{SO}}{{SH}} = \frac{{OK}}{{IH}}\) hay \(\frac{{2\sqrt 3 }}{6} = \frac{4}{{SH}} = \frac{2}{{IH}}\).
Do đó \(SH = \frac{{6 \cdot 4}}{{2\sqrt 3 }} = 4\sqrt 3 ;IH = \frac{{2 \cdot 6}}{{2\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 \).
Diện tích giấy tối thiểu để làm một hộp là:
\({S_{tp}} = \pi \cdot 2\sqrt 3 \cdot 4\sqrt 3 + \pi {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} = 36\pi \approx 113,1\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Vậy diện tích giấy tối thiểu để làm một hộp khoảng \(113,1\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập