Một công ty sản xuất bánh kẹo thiết kế một loại hộp giấy có dạng hình nón để đựng vừa khít một viên sô-cô-la cao cấp hình cầu có bán kính như hình vẽ. Biết các mặt hộp đều tiếp xúc với viên sô-cô-la.

(a) Tính thể tích của viên sô-cô-la.

(b) Biết chiều cao của hộp giấy hình nón . Giả sử các mép nối không đáng kể, hỏi cần tối thiểu bao nhiêu giấy để thiết kế một hộp như trên (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Cho biết công thức thể tích hình cầu là \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\) với \(R\) là bán kính hình cầu. Diện tích toàn phần hình nón là \(S = \pi Rl + \pi {R^2}\) với \(R\) là bán kính đáy hình nón, \(l\) là độ dài đường sinh của hình nón.

a) Gọi \(a\) (m) là chu vi hình chữ nhật \(ABCD\) (\(a > 0\)).

Khi gặp nhau lần đầu tại \(E\), vì thời gian trượt ván của 2 bạn như nhau nên quãng đường mỗi bạn đi được tỉ lệ thuận với tốc độ trượt ván mà tốc độ trượt ván của Nam gấp đôi tốc độ trượt ván của Minh.

Do đó, quãng đường Nam trượt ván là \(\frac{2}{3}a\) và Minh trượt ván là \(\frac{1}{3}a\).

Khi gặp nhau lần hai tại \[F,\] tổng quãng đường Nam đi được là \(a + 100\) nên quãng đường Nam chạy bộ là \(a + 100 - \frac{2}{3}a = \frac{1}{3}a + 100\).

Mặt khác, tổng quãng đường Minh đi được là \(a - 100\) nên quãng đường Minh chạy bộ là

\(a - 100 - \frac{1}{3}a = \frac{2}{3}a - 100\).

Do thời gian chạy bộ của 2 bạn như nhau và tốc độ chạy bộ của Minh gấp rưỡi tốc độ chạy bộ của Nam nên \(\frac{2}{3}a - 100 = \frac{3}{2}\left( {\frac{1}{3}a + 100} \right)\) suy ra \(a = 1500\).

b) Gọi \(x\) (m/phút) là tốc độ chạy bộ của Nam. Suy ra:

Tốc độ trượt ván của Minh là \(2x\) (m/phút)

Tốc độ trượt ván của Nam là \(4x\) (m/phút)

Tốc độ chạy bộ của Minh là \(1,5x\) (m/phút)

Tổng thời gian di chuyển của Nam từ lúc xuất phát đến lúc gặp nhau lần 2 là 17 phút nên ta có phương trình \(\frac{{\frac{1}{3} \cdot 1500 + 100}}{x} + \frac{{\frac{2}{3} \cdot 1500}}{{4x}} = 17\).

Giải phương trình tìm được \(x = 50\) (m/phút).

Do đó thời gian Nam trượt ván đến E là \(\frac{{\frac{2}{3} \cdot 1500}}{{4 \cdot 50}} = 5\) (phút).

Vậy hai bạn gặp nhau lần đầu lúc 8 giờ 5 phút.

a) Vì \[\widehat {ABD} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\)) nên tam giác \(ABD\) vuông tại \(B\).

Xét \(\Delta ABK\) và \(\Delta ADC\) có

\[\widehat {AKB} = \widehat {ADC} = 90^\circ \,;\,\,\widehat {ABK} = \widehat {ADC}\] (cùng chắn cung \[AC\] của đường tròn \(\left( O \right))\).

Do đó (g.g)

b) Chứng minh được \(BFEC\) là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {AEF} = \widehat {ABC}\) (cùng bù với \(\widehat {FEC}\)).

Mà \(\widehat {ADC} = \widehat {ABC}\) (cùng chắn cung \[AC\] của \(\left( O \right))\) nên \(\widehat {AEF} = \widehat {ADC}\).

Ta có \(\widehat {ACD} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right))\) nên \(\widehat {AEI} + \widehat {IAE} = \widehat {ADC} + \widehat {IAE} = 90^\circ \).

Suy ra \(MINK\) là tứ giác nội tiếp.

c) Ta có \(\widehat {BAC} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).

Xét \[\Delta ABE\] vuông tại \[E,\] tính được \(AE = 6{\rm{ cm}}\) và \(BE = 6\sqrt 3 {\rm{ cm}}\).

Tam giác \[OSC\] vuông tại \[S\] có \(\widehat {SOC} = \frac{1}{2}\widehat {BOC} = \widehat {BAC} = 60^\circ \), tính được \(OS = 5{\rm{ cm}}\) và \(SC = 5\sqrt 3 {\rm{ cm}}\).

Suy ra \(BC = 10\sqrt 3 {\rm{ cm}}\) nên \(EC = \sqrt {B{C^2} - B{E^2}} = 8\sqrt 3 {\rm{ cm}}\) nên \(AC = 8\sqrt 3 + 6{\rm{ cm}}\).

Từ câu a, ta có \(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AK}}{{AC}}\) suy ra \(AB.AC = AD.AK\).

Do đó \(AK = \frac{{AB.AC}}{{AD}} = \frac{{18 + 24\sqrt 3 }}{5}\).

Nên \(BK = \sqrt {A{B^2} - A{K^2}} \approx 1,4{\rm{ cm}}\) nên \(KS = BS - BK = 5\sqrt 3 - 1,4 \approx 7,2{\rm{ cm}}\).

Chứng minh được \(AH = 2OS = 10{\rm{ cm}}\) nên \(HK = AK - AH = \frac{{ - 32 + 24\sqrt 3 }}{5}\).

Suy ra \(HS = \sqrt {K{S^2} + H{K^2}} \approx 7,5{\rm{ cm}}\) nên \(HD \approx 15{\rm{ cm}}\).

Chứng minh được \[OS\,{\rm{//}}\,AK\] nên \(\frac{{OS}}{{AK}} = \frac{{ON}}{{AN}}\) suy ra \(\frac{{OS}}{{AK}} = \frac{{AN - 10}}{{AN}}\), do đó \(AN \approx 17,2{\rm{ cm}}\).

Chứng minh được \[MN\,{\rm{//}}\,HD\] nên \(\frac{{MN}}{{HD}} = \frac{{AN}}{{AD}}\) suy ra \(MN \approx 12,9{\rm{ cm}}\).