Cho phương trình: \(2{x^2} + 4x - \frac{1}{2} = 0\).

(a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

(b) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: \(T = {\left( {2{x_1} - {x_2}} \right)^2} + 3{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\).

Một công ty sản xuất bánh kẹo thiết kế một loại hộp giấy có dạng hình nón để đựng vừa khít một viên sô-cô-la cao cấp hình cầu có bán kính như hình vẽ. Biết các mặt hộp đều tiếp xúc với viên sô-cô-la.

(a) Tính thể tích của viên sô-cô-la.

(b) Biết chiều cao của hộp giấy hình nón . Giả sử các mép nối không đáng kể, hỏi cần tối thiểu bao nhiêu giấy để thiết kế một hộp như trên (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Cho biết công thức thể tích hình cầu là \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\) với \(R\) là bán kính hình cầu. Diện tích toàn phần hình nón là \(S = \pi Rl + \pi {R^2}\) với \(R\) là bán kính đáy hình nón, \(l\) là độ dài đường sinh của hình nón.

Vào lúc 8 giờ sáng, từ vị trí \(A\) của một công viên có dạng hình chữ nhật \(ABCD,\) hai bạn Nam và Minh bắt đầu di chuyển cùng lúc dọc theo mép công viên theo hai hướng ngược nhau (Nam đi theo hướng \(A \to B \to C \to D \to A\) và Minh đi theo hướng \(A \to D \to C \to B \to A\)). Ban đầu, cả hai đều sử dụng ván trượt điện và tốc độ trượt ván của Nam gấp đôi tốc độ trượt ván của Minh.

• Hai bạn gặp nhau lần thứ nhất tại vị trí \(E\). Ngay thời điểm đó, ván trượt của cả hai bạn đều hết pin nên cả Nam và Minh chuyển sang chạy bộ tiếp tục hành trình theo hướng cũ với tốc độ chạy bộ của Minh gấp rưỡi tốc độ chạy bộ của Nam và tốc độ chạy bộ của Nam bằng một nửa tốc độ trượt ván của Minh.

• Cả hai bạn gặp lại nhau lần thứ hai vào lúc 8 giờ 17 phút tại vị trí \(F\) cách \(A\) một khoảng bằng \(100{\rm{ m}}\) như hình vẽ.

(a) Tính chu vi hình chữ nhật \(ABCD\).

(b) Hai bạn gặp nhau lần thứ nhất lúc mấy giờ?

Cho hàm số \(y = - \frac{{{x^2}}}{4}\) có đồ thị \((P)\).

(a) Vẽ đồ thị \((P)\) trên hệ trục tọa độ.

(b) Tìm tọa độ điểm thuộc \((P)\) (khác gốc tọa độ) có tung độ bằng hai lần hoành độ.

Cho tam giác \(ABC\) nhọn \(\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn \(\left( {O\,;\,\,10{\rm{ cm}}} \right)\). Các đường cao \(AK,\,\,BE,\,\,CF\) cắt nhau tại \(H\). Kẻ đường kính \(AD\) của đường tròn \((O)\) và \(AD\) cắt \(EF\) tại \(I.\)

(a) Chứng minh tam giác \(ABD\) vuông tại \(B\) và .

(b) Gọi \(M\) là giao điểm của \(EF\) và \(AH\), \(N\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC\).

(c) Gọi \(S\) là trung điểm \(BC\). Giả sử \(\widehat {BDC} = 120^\circ \) và \(AB = 12{\rm{cm}}\). Tính độ dài đoạn thẳng \[KS\] và \(MN\).

Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:

A: “Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc giống nhau”.

B: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn 10”.

Trên một khu vườn hình tròn tâm \(O\) có bán kính \(OI = y\) (mét), bác Cường dự định xây một cái hồ hình vuông \(ABCD\) có hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(O\) như hình vẽ. Biết ba điểm \(I,\,\,A,\,\,O\) thẳng hàng và \(IA = x\) (mét) với \(0 < x < y\).

(a) Viết biểu thức tính diện tích phần còn lại của khu vườn sau khi xây hồ theo \(x\) và \(y\).

(b) Giả sử diện tích phần còn lại của khu vườn là \[464,5{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\] (lấy giá trị \(\pi \approx 3,14\)) và \(IA = 4\) m. Tìm bán kính khu vườn khi đó.

Biểu đồ đoạn thẳng dưới đây cho biết thời gian tự luyện tập đàn trong 10 ngày của bạn An.

Tính giá trị trung bình cộng về thời gian tự luyện tập đàn trong 10 ngày của bạn An.