Bác Tư mua một cái quạt máy và một ấm đun siêu tốc tại siêu thị với tổng giá niêm yết là \(630\,\,000\) đồng. Nhân tuần lễ tri ân khách hàng, siêu thị giảm giá quạt máy \(15\% \) và giảm giá ấm đun siêu tốc \(12\% \) so với giá niêm yết. Do đó, bác Tư chỉ phải trả tổng cộng \(543\,\,000\) đồng. Tính giá niêm yết của mỗi sản phẩm khi chưa giảm giá.

a) Ta có \(BE \bot AC \Rightarrow \Delta EBC\) vuông tại \(E\)\( \Rightarrow \)\(E,\)\(B,\)\(C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC.\) (1)

Ta có \[CF \bot AB \Rightarrow \Delta FBC\] vuông tại \(F\)\( \Rightarrow \)\(F,\)\(B,\)\(C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC.\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm \(C,\)\(E,\)\(F,\)\(B\) cùng thuộc đường tròn, hay tứ giác \[CEFB\] là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh tương tự như câu a) ta có \(AEHF\)là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {AHE} = \widehat {AFE}.\) (3)

Mà \[CEFB\] là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {ACM} = \widehat {AFE}\)(cùng bù với \(\widehat {BFE}\)) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat {AHE} = \widehat {ACM}.\)

Chứng minh tương tự như câu a) ta có \(AHKE\)là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {AHE} = \widehat {AKE}.\) Mà \(\widehat {AHE} = \widehat {ACM}\)(theo chứng minh trên) nên \(\widehat {ACM} = \widehat {AKE}.\) (5)

Mặt khác: \(EM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông \(BEC\) nên \(ME = \frac{{BC}}{2} = MC\)\( \Rightarrow \Delta MEC\) cân tại \(M\)\( \Rightarrow \widehat {ACM} = \widehat {MEC}.\) (6)

Từ (5) và (6) suy ra \(\widehat {MEC} = \widehat {AKE}\)\( \Rightarrow 180^\circ - \widehat {MEC} = 180^\circ - \widehat {AKE}\)\( \Rightarrow \widehat {MEA} = \widehat {MKE}\)

\( \Rightarrow \frac{{MK}}{{ME}} = \frac{{ME}}{{MA}} \Rightarrow M{E^2} = MA \cdot MK\)\( \Rightarrow {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} = MA \cdot MK\)\( \Rightarrow B{C^2} = 4MA \cdot MK.\)

c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(PN\) và \(EQ.\)

Ta có \(\widehat {ANE} = \widehat {AES}\)(cùng phụ với \(\widehat {EAN}\))\( \Rightarrow \widehat {CES} = \widehat {BNA}.\) Kết hợp với \(\widehat {ABE} = \widehat {ACF}\)suy ra

\( \Rightarrow \frac{{BN}}{{BA}} = \frac{{CE}}{{CS}}\)\( \Rightarrow \frac{{BN}}{{2BP}} = \frac{{CE}}{{2CQ}}\)\( \Rightarrow \frac{{BN}}{{BP}} = \frac{{CE}}{{CQ}}\)\( \Rightarrow \widehat {CEQ} = \widehat {BNP} = \widehat {ENI}\)\( \Rightarrow \widehat {CEQ} + \widehat {QEN} = \widehat {ENI} + \widehat {QEN}\)\( \Rightarrow 90^\circ = \widehat {ENI} + \widehat {QEN}\)\( \Rightarrow \widehat {NIE} = 90^\circ \Rightarrow PN \bot EQ.\)

Do phương trình có hai nghiệm phân biệt\(\;{x_1},{x_2}\) nên heo định lí Viète ta có:

\({x_1} + {x_2} = \frac{7}{2}\) và \({x_1}{x_2} = - \frac{1}{2}.\)

Ta có \(N = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}\,} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {\left( {\frac{7}{2}} \right)^2} - 4 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{{49}}{4} + \frac{4}{2} = \frac{{57}}{4}.\)

Vì \({x_1}\) là nghiệm của phương trình \(2{x^2} - 7x - 1 = 0\) nên \(2x_1^2 - 7{x_1} - 1 = 0 \Rightarrow {x_1}^2 = \frac{{7{x_1} + 1}}{2}\)\( \Rightarrow {\left( {{x_1} + 4} \right)^2} = {x_1}^2 + 8{x_1} + 16\)\( = \frac{{7{x_1} + 1}}{2} + 8{x_1} + 16\)\( = \frac{{23{x_1} + 33}}{2}\)

Do đó \(M = \sqrt {\frac{{23{x_1} + 33}}{2}} + {x_2} + 21 = \sqrt {{{\left( {{x_1} + 4} \right)}^2}} + {x_2} + 21 = \left| {{x_1} + 4} \right| + {x_2} + 21\)

\( = {x_1} + {x_2} + 25 = \frac{7}{2} + 25 = \frac{{57}}{2}\) (Vì \({x_1}{x_2} = - \frac{1}{2} < 0 \Rightarrow {x_1}\) và \({x_2}\) trái dấu.

Kết hợp với giả thiết \({x_1} > {x_2}\) ta có \({x_1} > 0 > {x_2}\)\( \Rightarrow {x_1} + 4 > 0 \Rightarrow \left| {{x_1} + 4} \right| = {x_1} + 4\))

Vậy \(P = M:N = \frac{{57}}{2}:\frac{{57}}{4} = 2\)