Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \[A\], đường cao \[AH,\] biết \[\,AB = 6\,\,{\rm{cm}},\,\,BH = 4\,\,{\rm{cm}}.\] Độ dài cạnh \[AC\] là:

Gọi số áo xưởng may được mỗi ngày theo kế hoạch là x (chiếc) (\(x \in {\mathbb{N}^*}\))

Thời gian hoàn thành công việc theo kế hoạch là \(\frac{{1200}}{x}\) (ngày)

5 ngày đầu, xưởng may được số áo là \(5x\)(chiếc)

Những ngày sau, mỗi ngày xưởng may được số áo là \(x + 10\) (chiếc)

Số áo cần phải may trong những ngày còn lại là \(1200 - 5x\)(chiếc)

Thời gian hoàn thành số áo còn lại sau 5 ngày là \(\frac{{1200 - 5x}}{{x + 10}}\)(ngày)

Vì hoàn thành xong trước 5 ngày nên ta có phương trình: \(\frac{{1200}}{x} - \left( {5 + \frac{{1200 - 5x}}{{x + 10}}} \right) = 5\)

Giải tìm được \({x_1} = 40\)(TMĐK); \({x_2} = - 60\) (loại)

Vậy số áo xưởng may được mỗi ngày theo kế hoạch là 40 chiếc.

a) Vì \(\widehat {BEC}\) và \(\widehat {BDC}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \[\left( O \right)\] nên \(\widehat {BEC} = \widehat {BDC} = 90^\circ .\)

Suy ra \(BD \bot AC\,;\,\,CE \bot AB\).

Vì \[\Delta AEH\]vuông tại \[E\] nên \[\Delta AEH\] nội tiếp đường tròn đường kính \[AH\]

Vì \[\Delta ADH\] vuông tại \[D\] nên \[\Delta ADH\] nội tiếp đường tròn đường kính \[AH\]

Suy ra: tứ giác \[ADHE\] nội tiếp đường tròn đường kính \[AH\]

b) Chứng minh: \[H\] là trực tâm của \(\Delta ABC\) suy ra \(AF \bot BC\)

Chứng minh: (g.g) (1)

Chứng minh: (g.g) (2)

Từ (1), (2) suy ra nên \(\frac{{AH}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{BD}}\) suy ra \(AH \cdot BD = AD \cdot BC\).

c) Chứng minh tứ giác \[A,\,\,M,\,\,F,\,\,O,\,\,N\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[AO.\]

Ta chứng minh được \(\widehat {AMN} = \widehat {AFM}\) (3)

Chỉ ra suy ra \(A{M^2} = AE \cdot AB\)

Chỉ ra suy ra \(AH \cdot AF = AE \cdot AB\)

Do đó \(A{M^2} = AH \cdot AF\)

Suy ra hay \(\widehat {AFM} = \widehat {AMH}\) (4)

Từ (3), (4) suy ra \(\widehat {AMN} = \widehat {AMH}\)

Vậy \[M,\,\,H,\,\,N\] thẳng hàng.