Bác An có một thanh sắt dài 20 m. Bác muốn dùng thanh sắt đó làm thành khung có dạng một hình chữ nhật và nửa đường tròn như hình vẽ. Hỏi Bác phải uốn khung đó có kích thước như thế nào để diện tích trong khung là lớn nhất?

Gọi số áo xưởng may được mỗi ngày theo kế hoạch là x (chiếc) (\(x \in {\mathbb{N}^*}\))

Thời gian hoàn thành công việc theo kế hoạch là \(\frac{{1200}}{x}\) (ngày)

5 ngày đầu, xưởng may được số áo là \(5x\)(chiếc)

Những ngày sau, mỗi ngày xưởng may được số áo là \(x + 10\) (chiếc)

Số áo cần phải may trong những ngày còn lại là \(1200 - 5x\)(chiếc)

Thời gian hoàn thành số áo còn lại sau 5 ngày là \(\frac{{1200 - 5x}}{{x + 10}}\)(ngày)

Vì hoàn thành xong trước 5 ngày nên ta có phương trình: \(\frac{{1200}}{x} - \left( {5 + \frac{{1200 - 5x}}{{x + 10}}} \right) = 5\)

Giải tìm được \({x_1} = 40\)(TMĐK); \({x_2} = - 60\) (loại)

Vậy số áo xưởng may được mỗi ngày theo kế hoạch là 40 chiếc.

a) Vì \(\widehat {BEC}\) và \(\widehat {BDC}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \[\left( O \right)\] nên \(\widehat {BEC} = \widehat {BDC} = 90^\circ .\)

Suy ra \(BD \bot AC\,;\,\,CE \bot AB\).

Vì \[\Delta AEH\]vuông tại \[E\] nên \[\Delta AEH\] nội tiếp đường tròn đường kính \[AH\]

Vì \[\Delta ADH\] vuông tại \[D\] nên \[\Delta ADH\] nội tiếp đường tròn đường kính \[AH\]

Suy ra: tứ giác \[ADHE\] nội tiếp đường tròn đường kính \[AH\]

b) Chứng minh: \[H\] là trực tâm của \(\Delta ABC\) suy ra \(AF \bot BC\)

Chứng minh: (g.g) (1)

Chứng minh: (g.g) (2)

Từ (1), (2) suy ra nên \(\frac{{AH}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{BD}}\) suy ra \(AH \cdot BD = AD \cdot BC\).

c) Chứng minh tứ giác \[A,\,\,M,\,\,F,\,\,O,\,\,N\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[AO.\]

Ta chứng minh được \(\widehat {AMN} = \widehat {AFM}\) (3)

Chỉ ra suy ra \(A{M^2} = AE \cdot AB\)

Chỉ ra suy ra \(AH \cdot AF = AE \cdot AB\)

Do đó \(A{M^2} = AH \cdot AF\)

Suy ra hay \(\widehat {AFM} = \widehat {AMH}\) (4)

Từ (3), (4) suy ra \(\widehat {AMN} = \widehat {AMH}\)

Vậy \[M,\,\,H,\,\,N\] thẳng hàng.