Cho \(\Delta ABC\) nhọn. Đường tròn \[\left( O \right)\], đường kính \[BC\] cắt các cạnh \[AB,\,\,AC\] lần lượt tại các điểm \[E,\,\,D\,\,\left( {E \ne B,\,\,D \ne C} \right).\] Gọi \[H\] là giao điểm của \[BD\] và \[CE\,;\,\,F\] là giao điểm của \[AH\] và \[BC.\]

(a) Chứng minh tứ giác \[ADHE\] nội tiếp đường tròn.

(b) Chứng minh \(AH.BD = AD.BC\).

(c) Từ điểm \[A\] kẻ các tiếp tuyến \[AM\] và \[AN\] của đường tròn \[\left( O \right)\] (\[M,\,\,N\] là các tiếp điểm). Chứng minh ba điểm \[M,\,\,H,\,\,N\] thẳng hàng.

Gọi số áo xưởng may được mỗi ngày theo kế hoạch là x (chiếc) (\(x \in {\mathbb{N}^*}\))

Thời gian hoàn thành công việc theo kế hoạch là \(\frac{{1200}}{x}\) (ngày)

5 ngày đầu, xưởng may được số áo là \(5x\)(chiếc)

Những ngày sau, mỗi ngày xưởng may được số áo là \(x + 10\) (chiếc)

Số áo cần phải may trong những ngày còn lại là \(1200 - 5x\)(chiếc)

Thời gian hoàn thành số áo còn lại sau 5 ngày là \(\frac{{1200 - 5x}}{{x + 10}}\)(ngày)

Vì hoàn thành xong trước 5 ngày nên ta có phương trình: \(\frac{{1200}}{x} - \left( {5 + \frac{{1200 - 5x}}{{x + 10}}} \right) = 5\)

Giải tìm được \({x_1} = 40\)(TMĐK); \({x_2} = - 60\) (loại)

Vậy số áo xưởng may được mỗi ngày theo kế hoạch là 40 chiếc.

Theo định lí Viète, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 7\\{x_1}.{x_2} = 1\end{array} \right.\)

Suy ra \({x_1} > 0;{x_2} > 0\)

Vì\({x_1};{x_2}\) là nghiệm của phương trình (*) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}x_1^2 - 7{x_1} + 1 = 0\\x_2^2 - 7{x_2} + 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_1^2 - 6{x_1} + 2 = {x_1} + 1\\x_2^2 - 6{x_2} + 2 = {x_2} + 1\end{array} \right.\)

Theo bài ra ta có:

\[\begin{array}{l}A = \frac{1}{{\sqrt {x_1^2 - 6{x_1} + 2} }} + \frac{1}{{\sqrt {x_2^2 - 6{x_2} + 2} }}\\ = \frac{1}{{\sqrt {{x_1} + 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {{x_2} + 1} }}\\ = \frac{{\sqrt {{x_2} + 1} + \sqrt {{x_1} + 1} }}{{\sqrt {{x_1} + 1} \sqrt {{x_2} + 1} }}\\ = \frac{{\sqrt {{{(\sqrt {{x_2} + 1} + \sqrt {{x_1} + 1} )}^2}} }}{{\sqrt {\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1\,} \right)} }}\\ = \frac{{\sqrt {{x_2} + 1 + {x_1} + 1 + 2\sqrt {\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1\,} \right)} } }}{{\sqrt {{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1} }}\\ = \frac{{\sqrt {7 + 2 + 2\sqrt {1 + 7 + 1} } }}{{\sqrt {1 + 7 + 1} }} = \frac{{\sqrt {15} }}{3}\end{array}\]