Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}}\); \(B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x + 2}}{{x\sqrt x - 1}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1\)

(a) Tính giá trị biểu thức \[A\] khi \(x = 9\).

(b) Rút gọn biếu thức \(P = B - A\).

(c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(Q = \frac{2}{P} + \sqrt x \).

Giả sử trung bình mỗi tháng doanh nghiệp bán được \[x\] chiếc áo sơ mi \[\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\]

Lợi nhuận của doanh nghiệp sau \[12\] tháng là:

\[12\left( {350\,\,000x - 410\,\,000\,\,000} \right)\] (đồng)

Do đó để doanh nghiệp thu được lợi nhuận ý nhât là \[1,38\]tỉ đồng thì\[12\left( {350\,\,000x - 410\,\,000\,\,000} \right) \ge 1\,\,380\,\,000\,\,000\]

\[350\,\,000x - 410\,\,000\,\,000 \ge 115\,\,000\,\,000\]

Vậy trung bình mỗi tháng doanh nghiệp phải bán được ít nhất \[1\,500\] chiếc áo sơ mi để doanh nghiệp thu được lợi nhuận ít nhất là \[1,38\]tỉ đồng sau \[1\] năm.

a) • \(\widehat {AFH} = 90^\circ \) (vì CF là đường cao \(\Delta ABC\))

Xét \(\Delta AFH\) vuông tại \(F\) nên \(\Delta AFH\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AH\).

Suy ra \(A;H;F\)cùng thuộc một đường tròn đường kính \(AH\). (1)

• \(\widehat {AEH} = 90^\circ \) (vì BE là đường cao \(\Delta ABC\))

Xét \(\Delta AEH\) vuông tại \(E\) nên \(\Delta AEH\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AH\).

Suy ra \(A;H;E\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(AH\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm \(A,F,H,E\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(AH\).

b) Ta có: \(\widehat {ACM} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\widehat {ADB} = 90^\circ \) (vì \[AD\] là đường cao \(\Delta ABC\)) nên \(\widehat {ADB} = \widehat {ACM} = 90^\circ \).

\(\widehat {ABC} = \widehat {AMC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC của (O))

Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta ACM\)có: \(\widehat {ADB} = \widehat {ACM} = 90^\circ \); \(\widehat {ABC} = \widehat {AMC}\)

Do đó

\( \Rightarrow \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AM}} \Rightarrow AD.AM = AB.AC\)

c) • Xét \(\Delta ABC\)có \(H\) là trực tâm nên \(BH \bot AC;CH \bot AB\) và \(BM \bot AB;CM \bot AC\)

Do \(\widehat {ABM} = \widehat {ACM} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \(CM\,{\rm{//}}\,BH\,;\,\,BM\,{\rm{//}}\,CH\).

Do đó tứ giác \(BHCM\) là hình bình hành.

Suy ra hai đường chéo \(HM\) và \(BC\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Mà K là trung điểm của \(BC\)nên K là trung điểm của \(HM\)\( \Rightarrow H,M,K\) thẳng hàng.

• Ta có \(\widehat {AEF} + \widehat {FEC} = 180^\circ \) (kề bù)

Chứng minh được tứ giác \(BFEC\) nội tiếp nên \(\widehat {FBC} + \widehat {FEC} = 180^\circ \) (tính chất)

Suy ra \(\widehat {AEF} = \widehat {ABI}\)

Chứng minh: suy ra \(\frac{{AP}}{{AI}} = \frac{{AE}}{{AB}}\)

Chứng minh: suy ra \(\frac{{AH}}{{AM}} = \frac{{AE}}{{AB}}\)

\( \Rightarrow \frac{{AP}}{{AI}} = \frac{{AH}}{{AM}} \Rightarrow \frac{{AP}}{{AH}} = \frac{{AI}}{{AM}} \Rightarrow PI\,{\rm{//}}\,HM\) (định lí Thalès đảo)

Vậy \(PI\,\,{\rm{//}}\,HM\)(đpcm)