Một cửa hàng bán ba loại trái cây: táo, cam, quýt. Mỗi ngày, số lượng hộp quả táo, hộp quả cam, hộp quả quýt nhập về lần lượt được kí hiệu là \(x,y,z\) (\(x,y,z\) là các số tự nhiên). Cửa hàng có các thông tin và điều kiện như sau:

1) Chi phí nhập mỗi hộp quả táo là \(100\,\,000\) đồng, mỗi hộp quả cam là \(200\,\,000\) nghìn đồng và môi xhộp quả quýt là \(100\,\,000\) nghìn đồng.

2) Tổng chi phí nhập không được vượt quá \(1\,\,000\,\,000\) đồng,

3) Cửa hàng phải nhập đủ ba loại trái cây.

4) Cửa hàng cần nhập ít nhất \(3\) hộp quả táo và cam cộng lại.

Lợi nhuận (lãi) thu về từ việc bán mỗi loại trái cây là \(200\,\,000\) đồng cho mỗi hộp quả táo, \(300\,\,000\) đồng cho mỗi hộp quả cam và \(100\,\,000\) đồng cho mỗi hộp quả quýt.

Giả định rằng tất cả số trái cây nhập về đều được bán hết trong ngày, hãy chỉ ra phương án nhập hàng giúp người bán hàng có lợi nhuận cao nhất.

Giả sử trung bình mỗi tháng doanh nghiệp bán được \[x\] chiếc áo sơ mi \[\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\]

Lợi nhuận của doanh nghiệp sau \[12\] tháng là:

\[12\left( {350\,\,000x - 410\,\,000\,\,000} \right)\] (đồng)

Do đó để doanh nghiệp thu được lợi nhuận ý nhât là \[1,38\]tỉ đồng thì\[12\left( {350\,\,000x - 410\,\,000\,\,000} \right) \ge 1\,\,380\,\,000\,\,000\]

\[350\,\,000x - 410\,\,000\,\,000 \ge 115\,\,000\,\,000\]

Vậy trung bình mỗi tháng doanh nghiệp phải bán được ít nhất \[1\,500\] chiếc áo sơ mi để doanh nghiệp thu được lợi nhuận ít nhất là \[1,38\]tỉ đồng sau \[1\] năm.

a) • \(\widehat {AFH} = 90^\circ \) (vì CF là đường cao \(\Delta ABC\))

Xét \(\Delta AFH\) vuông tại \(F\) nên \(\Delta AFH\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AH\).

Suy ra \(A;H;F\)cùng thuộc một đường tròn đường kính \(AH\). (1)

• \(\widehat {AEH} = 90^\circ \) (vì BE là đường cao \(\Delta ABC\))

Xét \(\Delta AEH\) vuông tại \(E\) nên \(\Delta AEH\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AH\).

Suy ra \(A;H;E\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(AH\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm \(A,F,H,E\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(AH\).

b) Ta có: \(\widehat {ACM} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\widehat {ADB} = 90^\circ \) (vì \[AD\] là đường cao \(\Delta ABC\)) nên \(\widehat {ADB} = \widehat {ACM} = 90^\circ \).

\(\widehat {ABC} = \widehat {AMC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC của (O))

Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta ACM\)có: \(\widehat {ADB} = \widehat {ACM} = 90^\circ \); \(\widehat {ABC} = \widehat {AMC}\)

Do đó

\( \Rightarrow \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AM}} \Rightarrow AD.AM = AB.AC\)

c) • Xét \(\Delta ABC\)có \(H\) là trực tâm nên \(BH \bot AC;CH \bot AB\) và \(BM \bot AB;CM \bot AC\)

Do \(\widehat {ABM} = \widehat {ACM} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \(CM\,{\rm{//}}\,BH\,;\,\,BM\,{\rm{//}}\,CH\).

Do đó tứ giác \(BHCM\) là hình bình hành.

Suy ra hai đường chéo \(HM\) và \(BC\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Mà K là trung điểm của \(BC\)nên K là trung điểm của \(HM\)\( \Rightarrow H,M,K\) thẳng hàng.

• Ta có \(\widehat {AEF} + \widehat {FEC} = 180^\circ \) (kề bù)

Chứng minh được tứ giác \(BFEC\) nội tiếp nên \(\widehat {FBC} + \widehat {FEC} = 180^\circ \) (tính chất)

Suy ra \(\widehat {AEF} = \widehat {ABI}\)

Chứng minh: suy ra \(\frac{{AP}}{{AI}} = \frac{{AE}}{{AB}}\)

Chứng minh: suy ra \(\frac{{AH}}{{AM}} = \frac{{AE}}{{AB}}\)

\( \Rightarrow \frac{{AP}}{{AI}} = \frac{{AH}}{{AM}} \Rightarrow \frac{{AP}}{{AH}} = \frac{{AI}}{{AM}} \Rightarrow PI\,{\rm{//}}\,HM\) (định lí Thalès đảo)

Vậy \(PI\,\,{\rm{//}}\,HM\)(đpcm)