Cho tam giác \(ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn \((O)\). Vẽ các đường cao \(AD,BE,CF\) của tam giác \(ABC\). Gọi điểm \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\).

(a) Chứng minh bốn điểm \(A,F,H,E\) cùng thuộc một đường tròn.

(b) Kẻ đường kính \(AM\) của đường tròn \((O)\). Chứng minh \(AD \cdot AM = AB \cdot AC\).

(c) Gọi điểm \(P\) là giao điểm của đường thẳng \(AH\) và đường thẳng \(EF\). Gọi điểm \(I\) là giao điểm của đường thẳng \(AM\) và đường thẳng \(BC\). Gọi điểm \(K\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\). Chứng minh: các điểm \(H,K,M\) thẳng hàng và \(PI\) song song với \(HK\).

Trong túi có \[6\] quả bóng bàn kích thước và chất liệu như nhau gồm \[2\] quả màu đỏ, \[2\] quả màu trắng, \[2\] quả màu xanh. Không nhìn vào túi mà lấy ra \[2\] quả bóng. Tính xác suất của biến cố A “lấy được ít nhất một quả bóng màu đỏ”.

Cho phương trình \({x^2} - 4x + 2m + 1 = 0\) (m là tham số). Tìm giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1}{\rm{, }}{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + ({x_1} + {x_2}){x_2} = 4{m^2} + 3\).

Một cửa hàng bán ba loại trái cây: táo, cam, quýt. Mỗi ngày, số lượng hộp quả táo, hộp quả cam, hộp quả quýt nhập về lần lượt được kí hiệu là \(x,y,z\) (\(x,y,z\) là các số tự nhiên). Cửa hàng có các thông tin và điều kiện như sau:

1) Chi phí nhập mỗi hộp quả táo là \(100\,\,000\) đồng, mỗi hộp quả cam là \(200\,\,000\) nghìn đồng và môi xhộp quả quýt là \(100\,\,000\) nghìn đồng.

2) Tổng chi phí nhập không được vượt quá \(1\,\,000\,\,000\) đồng,

3) Cửa hàng phải nhập đủ ba loại trái cây.

4) Cửa hàng cần nhập ít nhất \(3\) hộp quả táo và cam cộng lại.

Lợi nhuận (lãi) thu về từ việc bán mỗi loại trái cây là \(200\,\,000\) đồng cho mỗi hộp quả táo, \(300\,\,000\) đồng cho mỗi hộp quả cam và \(100\,\,000\) đồng cho mỗi hộp quả quýt.

Giả định rằng tất cả số trái cây nhập về đều được bán hết trong ngày, hãy chỉ ra phương án nhập hàng giúp người bán hàng có lợi nhuận cao nhất.

Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}}\); \(B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x + 2}}{{x\sqrt x - 1}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1\)

(a) Tính giá trị biểu thức \[A\] khi \(x = 9\).

(b) Rút gọn biếu thức \(P = B - A\).

(c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(Q = \frac{2}{P} + \sqrt x \).

Tổng chi phí của một doanh nghiệp sản xuất áo sơ mi là \[410\] triệu đồng/ tháng. Giá bán của mỗi chiếc áo sơ mi là \[350\] nghìn đồng. Hỏi trung bình mỗi tháng doanh nghiệp phải bán được ít nhất bao nhiêu chiếc áo sơ mi để thu được lợi nhuận ít nhất là \[1,38\] tỉ đồng sau một năm?

Một cơ sở sản xuất lập kế hoạch làm \[600\] sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do cải tiến kĩ thuật, năng suất mỗi ngày tăng \[10\] sản phẩm. Vì thế không những hoàn thành sớm kế hoạch \[1\] ngày, mà còn vượt mức \[100\] sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày phải làm bao nhiêu sản phẩm. (Giả định rằng số sản phẩm mà tổ đó làm được trong mỗi ngày là bằng nhau).