Cho nửa đường tròn tâm \(O\), đường kính \(AB = 2R\) và tia tiếp tuyến\(Ax\) cùng phía với nửa đường tròn đối với \(AB\). Từ điểm \(M\) trên \(Ax\) kẻ tiếp tuyến thứ hai \(MC\) với nửa đường tròn (\(C\) là tiếp điểm). \(AC\) cắt \(OM\) tại \(E\); \(MB\) cắt nửa đường tròn \((O)\) tại \(D\) (\(D \ne B\)).

(a) Chứng minh rằng bốn điểm \(A,M,C,O\) cùng thuộc một đường tròn.

(b) Tính diện tích hình quạt \(OCB\) theo \(R\), trong trường hợp \(\widehat {AMC} = 60^\circ \) và chứng minh \(\widehat {ADE} = \widehat {ACO}\).

(c) Gọi \(H\) là hình chiếu của \(C\) trên \(AB\). Chứng minh rằng \(MB\)đi qua trung điểm của \(CH\).

a) Tần số tương đối của nhóm \(\left[ {10\,;\,20} \right)\) là: \(\frac{6}{{60}}.100\% = 10\% \).

Tần số tương đối của nhóm \(\left[ {20\,;\,30} \right)\) là: \(\frac{{18}}{{60}}.100\% = 30\% \).

Tần số tương đối của nhóm \(\left[ {30\,;\,40} \right)\) là: \(\frac{{24}}{{60}}.100\% = 40\% \).

Tần số tương đối của nhóm \(\left[ {40\,;\,50} \right)\) là: \(\frac{{12}}{{60}}.100\% = 20\% \).

Vậy tần số tương đối của các nhóm \(\left[ {10\,;\,20} \right)\), \(\left[ {20\,;\,30} \right)\), \(\left[ {30\,;\,40} \right)\), \(\left[ {40\,;\,50} \right)\) lần lượt là: \(10\% \,,\,30\% \,,\,40\% \,,\,20\% \).

b) Bảng tần số tương đối ghép nhóm của mẫu số liệu ghép nhóm đó là:

1) Ta có : \(B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}}\) (ĐK :\(x > 0\))

Thay \(x = 9\)(thoả mãn ĐKXĐ) vào biểu thức \(B\) ta có:

\(B = \frac{{\sqrt 9 - 2}}{{\sqrt 9 + 1}} = \frac{{3 - 2}}{{3 + 1}} = \frac{1}{4}\)

Vậy \(B = \frac{1}{4}\) khi \(x = 9\)

2) \(A = \frac{{2\sqrt x - 6}}{{x - 2\sqrt x }} - \frac{2}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }}\)

\( = \frac{{2\sqrt x - 6}}{{\sqrt x (\sqrt x - 2)}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x (\sqrt x - 2)}} + \frac{{(\sqrt x - 3)(\sqrt x - 2)}}{{\sqrt x (\sqrt x - 2)}}\)

\( = \frac{{2\sqrt x - 6 + 2\sqrt x + (\sqrt x - 3)(\sqrt x - 2)}}{{\sqrt x (\sqrt x - 2)}}\)

\( = \frac{{2\sqrt x - 6 + 2\sqrt x + x - 2\sqrt x - 3\sqrt x + 6}}{{\sqrt x (\sqrt x - 2)}}\)

\( = \frac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x (\sqrt x - 2)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x (\sqrt x - 1)}}{{\sqrt x (\sqrt x - 2)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}}\).

Vậy \(A = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}}\).

3) Ta có \(A.B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}} \cdot \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\)

Ta có \(\sqrt {AB} < \frac{2}{3}\); ĐKXĐ: \(AB \ge 0\) hay \(\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} \ge 0\), do \(x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x + 1 > 0\) nên \(\sqrt x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1\).

Từ đó suy ra \(AB < \frac{4}{9}\)

Khi đó \(\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} < \frac{4}{9}\)

\(\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{4}{9} < 0\)

\(\frac{{9\sqrt x - 9 - 4\sqrt x - 4}}{{9(\sqrt x + 1)}} < 0\)

\(\frac{{5\sqrt x - 13}}{{9(\sqrt x + 1)}} < 0\)

Mà \(9(\sqrt x + 1) > 0\) với mọi \(x > 0\) nên \(5\sqrt x - 13 < 0\)

\(\sqrt x < \frac{{13}}{5} \Rightarrow x < \frac{{169}}{{25}}\).

Kết hợp với điều kiện đề bài , ta có: và \(0 < x < \frac{{169}}{{25}}\)\(x \ne 4\). Mà \(x\) là số nguyên nên \(x \in \left\{ {1;2;3;5;6} \right\}\)

Vậy \(x \in \left\{ {1;2;3;5;6} \right\}\)thì \(\sqrt {AB} < \frac{2}{3}\)