Cho nửa đường tròn \[\left( O \right)\] đường kính \[AB\] và dây \[AC\] căng cung \[AC\] có số đo \[60^\circ .\]

Gọi \[M\] và \[N\] lần lượt là điểm chính giữa các cung \[AC\] và \[BC\], hai dây \[AN\] và \[BM\] cắt nhau tại \[I.\]

 

Khi đó:

Đáp án đúng là: a) Đúng.  b) Đúng.    c) Đúng.    d) Đúng.

a) Ta có: \[\widehat {ACM} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

b) Xét \[\Delta ABH\] và \[\Delta AMC\] có: \[\widehat {BHA} = \widehat {ACM} = 90^\circ \];

                                               \[\widehat {ABH} = \widehat {AMC}\] (góc nội tiếp chắn cung \[AC\])

Do đó, suy ra \[\widehat {BAH} = \widehat {MAC}\] (hai góc tương ứng).

Mà \[\widehat {OCA} = \widehat {MAC}\] (\[\Delta OAC\] cân tại \[O\]).

Suy ra \[\widehat {BAH} = \widehat {OCA}\].

c) Do \[N\] là giao điểm của \[AH\] với \[\left( O \right)\] nên \[\widehat {ANM} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Suy ra \[\widehat {ANM} = \widehat {AHC}\left( { = \widehat {BHA} = 90^\circ } \right)\].

Mà hai góc ở vị trí đồng vị nên \[MN\parallel BC\].

Do đó, \[BCMN\] là hình thang.

Lại có \[\widehat {BAH} = \widehat {MAC}\] (chứng minh trên) suy ra .

Suy ra \[BN = MN\].

Vậy \[BCMN\] là hình thang cân.

Đáp án đúng là: a) Đúng.     b) Sai.                  c) Đúng.    d) Đúng.

a) Đúng.

Vì \[AM\] là tia phân giác \[\widehat {BAC}\] nên \[\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\].

Ta có: \[\widehat {{A_2}} = \widehat {{B_1}}\] (góc nội tiếp cùng chắn cung \[MC\])

Suy ra \[\widehat {{A_1}} = \widehat {{B_1}}\].

b) Sai.

Xét \[\Delta MBD\] và \[\Delta MBA\] có: \[\widehat M\] chung và \[\widehat {MBD} = \widehat {MAB}\] (cmt)

Do đó, $\Delta MBD\backsim \Delta MAB$ (g.g)

c) Đúng.

Vì $\Delta MBD\backsim \Delta MAB$ (cmt) nên \[\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{MD}}{{MB}}\].

Lại có \[AK\] với đường tròn \[\left( {M,\,MB} \right),\,\,K\] là tiếp điểm nên \[MB = MK\].

Do đó, \[\frac{{MK}}{{MA}} = \frac{{MD}}{{MK}}\].

Xét \[\Delta DMK\] và \[\Delta KMA\] có: \[\frac{{MK}}{{MA}} = \frac{{MD}}{{MK}}\] và \[\widehat M\] chung.

Do đó, $\Delta DMK\backsim \Delta KMA$ (c.g.c)

c) Đúng.

Vì $\Delta DMK\backsim \Delta KMA$ (cmt) nên \[\widehat {KDM} = \widehat {MKA} = 90^\circ \] (hai góc tương ứng).

Suy ra \[DK \bot AM\].