Cho đường tròn \[\left( {O;\,R} \right)\] và hai đường kính \[AB,\,CD\]. Trên bán kính \[AO\] lấy đoạn \[AI = \frac{2}{3}AO,\] vẽ tia \[CI\] cắt \[\left( O \right)\] tại \[E\].

Khi đó:

Đáp án đúng là: a) Đúng.  b) Sai.            c) Sai.            d) Đúng.

a) Đúng.

Vì tam giác \[ABC\] đều nên \[CE\] vừa là đường cao, vừa là đường phân giác, đường trung tuyến.

Do đó, \[CE = \frac{{18\sqrt 3 }}{2} = 9\sqrt 3 \,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

Suy ra \[OE = \frac{1}{3}CE = 3\sqrt 3 \,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \[ABC\] là \[3\sqrt 3 {\rm{ cm}}{\rm{.}}\]

b) Sai.

Xét \[\Delta OEN\] và \[\Delta ONI\], có:

\[OE = OI = r\]

\[ON\] chung

\[\widehat {OEN} = \widehat {OIN} = 90^\circ \]

Suy ra \[\Delta OEN = \Delta OIN\] (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

c) Sai.

Ta chứng minh được \[\Delta OFM = \Delta OIM\] (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

                                 \[\Delta OEA = \Delta OFA\] (c.c.c)

Ta có: \[{S_{AEOF}} = 2{S_{AOE}} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot EA \cdot EO = EA \cdot EO = \frac{1}{2}AB \cdot EO = 9 \cdot 3\sqrt 3 = 27\sqrt 3 \,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\].

d) Đúng.

Ta có: \[{S_{ENIO}} + {S_{IMFO}} = 2{S_{NOI}} + 2{S_{OIM}} = 2{S_{OMN}} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot OI \cdot MN = 3\sqrt 3 \cdot 8 = 24\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\].

Suy ra \[{S_{AMN}} = {S_{AEOF}} - {S_{ENIO}} - {S_{IMFO}} = 27\sqrt 3 - 24\sqrt 3 = 3\sqrt 3 \,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\]

Đáp án: 2

Đường tròn \[\left( {I;{\rm{ }}r} \right)\] tiếp xúc với các cạnh \[AB,{\rm{ }}AC,{\rm{ }}BC\] theo thứ tự \[M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P\].

Ta có: $S_{AIB}=\frac{1}{2}IM\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot r\cdot AB\left(1\right)$

           $S_{AIC}=\frac{1}{2}IN\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot r\cdot AC\left(2\right)$

               $S_{BIC}=\frac{1}{2}r.BC\left(3\right)$

Cộng vế theo vế ở các biểu thức \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right),\,\,\left( 3 \right)\), ta được:

\(\frac{{{S_{AIB}} + {S_{AIC}} + {S_{BIC}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{1}{2}r\left( {AB + AC + BC} \right)\).

Mà \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.6.8 = 24\) (cm²), \(BC = \sqrt {{6^2} + {8^2}} = 10\) (cm)

Nên ta có: \(24 = \frac{1}{2}r \cdot \left( {6 + 8 + 10} \right)\) hay \(\frac{1}{2}r \cdot 12 = 24\).

Do đó \(r = 2\,\,{\rm{cm}}\).