Người ta làm một logo có dạng hình tròn, trong đó có một hình chữ nhật nội tiếp đường tròn với chiều dài và chiều rộng lần lượt là 6 cm và 4 cm (như hình vẽ).

Diện tích phần bị gạch chéo là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Đáp án đúng là: a) Đúng.     b) Đúng.    c) Sai.                  d) Sai.

a) Đúng.

Ta có: \[AI = \frac{2}{3}AO\] nên \[OI = \frac{1}{3}AO = \frac{R}{3}\].

b) Đúng.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác \[\Delta OCI\], có:

\[CI = \sqrt {C{O^2} + O{I^2}} = \sqrt {{R^2} + \frac{{{R^2}}}{9}} = \frac{{R\sqrt {10} }}{3}\].

c) Sai.

Xét \[\Delta COI\] và \[\Delta CDE\] có:

\[\widehat {OCI} = \widehat {DCE}\]

\[\widehat {COI} = \widehat {DEC} = 90^\circ \]

Do đó, $\Delta CDE\backsim \Delta CIO$ (g.g).

d) Sai.

Vì (cmt) nên ta có: \[\frac{{CE}}{{CO}} = \frac{{CD}}{{CI}} = \frac{{DE}}{{IO}}\].

Suy ra \[CE = \frac{{CD \cdot CO}}{{CI}} = \frac{{2R \cdot R}}{{\frac{{R\sqrt {10} }}{3}}} = \frac{{3R\sqrt {10} }}{5}\].

Do đó, \[\frac{{CI}}{{CE}} = \frac{{R\sqrt {10} }}{3}:\frac{{3R\sqrt {10} }}{5} = \frac{5}{9}\].

Vậy \[CI = \frac{5}{9}CE.\]

Suy ra \[CI = \frac{5}{4}IE\].

Đáp án đúng là: a) Đúng.  b) Đúng.        c) Đúng.    d) Sai.

a) Đúng.

Ta có: \[OI \bot BC\] nên \[I\] là trung điểm của \[BC\].

Do đó, \[BI = IC = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}\].

Áp dụng định lí Pythagore, ta có: \[O{I^2} = O{B^2} - B{I^2} = {R^2} - \frac{{3{R^2}}}{4} = \frac{{{R^2}}}{4}\].

Suy ra \[OI = \frac{R}{2}\]. Suy ra \[OI = \frac{1}{2}BO\] hay \[\sin \widehat {IBO} = \frac{{OI}}{{BC}} = \frac{1}{2}\].

Do đó, \[\widehat {IBO} = 30^\circ \].

b) Đúng.

Nhận thấy, \[O{B^2} + O{A^2} = 2{R^2} = A{B^2}\], theo định lí Pythagore đảo, ta có \[\Delta OAB\] vuông tại \[O\].

Do đó, \[\widehat {BOA} = 90^\circ \].

c) Đúng.

\[\Delta OAB\] vuông tại \[O\] có \[OA = OB\] nên \[\Delta OAB\] vuông cân tại \[O\], suy ra \[\widehat {OAB} = \widehat {ABO} = 45^\circ \].

Ta có: \[\widehat {ABC} = \widehat {ABO} - \widehat {CBO} = 45^\circ - 30^\circ = 15^\circ \].

Xét \[\Delta ABH\] có \[AH = AB \cdot \sin \widehat {ABC} = R\sqrt 2 \cdot \sin 15^\circ \].

d) Sai.

Có \[\widehat {ACB} = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = 45^\circ \].

Suy ra \[\Delta AHC\] vuông cân, do đó \[AH = HC\].

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác \[\Delta AHC\] được :

\[AC = \sqrt {A{H^2} + H{C^2}} = AH\sqrt 2 = R\sqrt 2 \cdot \sin 15^\circ \cdot \sqrt 2 = 2R \cdot \sin 15^\circ > \frac{R}{2}.\]