Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

(Gồm 10 câu hỏi, hãy chọn phương án đúng duy nhất)

Phương trình nào dưới đây là phương trình bậc hai một ẩn?

Lời giải

Đáp án đúng là: a) Sai.      b) Đúng.    c) Đúng.     d) Sai.

a) Sai.

Với \[m = 3\], ta có phương trình: \[{x^2} - 2x + 5 = 0\] hay \[{\left( {x - 1} \right)^2} + 4 = 0\].

Nhận thấy \[{\left( {x - 1} \right)^2} + 4 > 0\] với mọi \[x\].

Do đó, phương trình \[{\left( {x - 1} \right)^2} + 4 = 0\] vô nghiệm.

Vậy với \[m = 3\] thì phương trình vô nghiệm.

b) Đúng.

Thay \[x = - 4\] vào phương trình, ta có:

\[{\left( { - 4} \right)^2} - 2\left( {m - 2} \right).\left( { - 4} \right) + {m^2} - 3m + 5 = 0\]

\[16 + 8m - 16 + {m^2} - 3m + 5 = 0\]

\[{m^2} + 5m + 5 = 0\] (*)

Xét phương trình (*), ta có:\[\Delta = {5^2} - 5.4 = 5 > 0\].

Do đó, ta có \[{m_1} = \frac{{ - 5 - \sqrt 5 }}{2}\] và \[{m_2} = \frac{{ - 5 + \sqrt 5 }}{2}\].

Vậy các giá trị của \[m\] để phương trình có một trong các nghiệm bằng \[ - 4\] là: \[\left\{ {\frac{{ - 5 + \sqrt 5 }}{2};\frac{{ - 5 - \sqrt 5 }}{2}} \right\}\].

c) Đúng.

Để phương trình có nghiệm kép thì phương trình \[{x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + {m^2} - 3m + 5 = 0\] có biệt thức \[\Delta ' = 0.\]

Ta có: \[\Delta ' = 0\] suy ra \[{\left[ { - \left( {m - 2} \right)} \right]^2} - {m^2} + 3m - 5 = 0\] hay \[ - m - 1 = 0\] suy ra \[m = - 1\].

Vậy với \[m = - 1\] thì phương trình có nghiệm kép.

d) Sai.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \[{x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + {m^2} - 3m + 5 = 0\] có biệt thức \[\Delta ' > 0.\]

Do đó, \[{\left[ { - \left( {m - 2} \right)} \right]^2} - {m^2} + 3m - 5 > 0\] hay \[ - m - 1 > 0\], suy ra \[m < - 1\].

Đáp án: −9

Ta có \(\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)\left( {x + 6} \right) = 504\)

\(\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {x + 6} \right)} \right]\left[ {\left( {x + 5} \right)\left( {x + 6} \right)} \right] = 504\)

\(\left( {{x^2} + 8x + 12} \right)\left( {{x^2} + 8x + 15} \right) = 504\,\,\,\left( * \right)\)

Đặt \(t = {x^2} + 8x\), phương trình \(\left( * \right)\) trở thành \(\left( {t + 12} \right)\left( {t + 15} \right) = 420\)

\({t^2} + 27t + 180 = 504\)

\({t^2} + 27t - 324 = 0\)

\(\left( {t - 9} \right)\left( {t + 36} \right) = 0\)

\(t = 9\) hoặc \(t = - 32.\)

Ta xét hai trường hợp sau:

Vì \({\left( {x + 4} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R},\) nên phương trình \(\left( {***} \right)\) vô nghiệm.

Vậy tích các nghiệm của phương trình đã cho là: \(1 \cdot \left( { - 9} \right) = - 9.\)