(1,5 điểm)

Cho hai biểu thức \(A = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{3 - 11\sqrt x }}{{9 - x}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  - 2}}\) với \(x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9\).

1) Tính giá trị của biểu thức \(B\) khi \(x = 81\).

2) Chứng minh \(A = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}}\).

3) Tìm tất cả các giá trị của \(x\) để \(P = A.B\) có giá trị không âm.

1) Thay \(x = 81\) (TMĐK) vào biểu thức \(B\), ta được:

\(B = \frac{{\sqrt {81}  - 3}}{{\sqrt {81}  - 2}} = \frac{{9 - 3}}{{9 - 2}} = \frac{6}{7}\).

Vậy khi \(x = 81\) thì \(B = \frac{6}{7}\).

2) Với \(x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9\), ta có:

\(A = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{3 - 11\sqrt x }}{{9 - x}}\)

\( = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}} - \frac{{3 - 11\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right) + \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right) - \left( {3 - 11\sqrt x } \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{2x - 6\sqrt x  + x + 3\sqrt x  + \sqrt x  + 3 - 3 + 11\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{3x + 9\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\)\( = \frac{{3\sqrt x (\sqrt x  + 3)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\)\( = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}}\).

Vậy với \(x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9\) thì \(A = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}}.\)

3) Tìm tất cả các giá trị của \(x\) để \(P = A.B\) có giá trị không âm.

Ta có \(P = A \cdot B\)\( = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} \cdot \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  - 2}} = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}\)

Để \(P\) có giá trị không âm thì \(P \ge 0\) nên \(\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} \ge 0\).

Vì \(x \ge 0\) nên \(\sqrt x  \ge 0\), do đó \(3\sqrt x  \ge 0\). Ta xét 2 trường hợp:

TH1: \(3\sqrt x  = 0\) suy ra \(x = 0\). Thay vào \(P\) ta được \(P = \frac{0}{{ - 2}} = 0 \ge 0\) (TMĐK).

TH2: \(3\sqrt x  > 0\) suy ra \(x > 0\).

Để \(P \ge 0\) mà \(3\sqrt x  > 0\) (vì \(x > 0\)) thì \(\sqrt x  - 2 > 0\) suy ra \(\sqrt x  > 2\) nên \(x > 4\).

Kết hợp cả 2 trường hợp với điều kiện xác định (\(x \ne 9\)), ta được: \(x = 0\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x > 4\\x \ne 9\end{array} \right.\).

Vậy \(x = 0\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x > 4\\x \ne 9\end{array} \right.\) thì \(P\) có giá trị không âm.