(4 điểm)

Một công ty sản xuất hộp giấy dạng hình hộp chữ nhật để đựng các lon nước ngọt. Hộp có kích thước: chiều dài 24 cm, chiều rộng 16 cm, chiều cao 12 cm. Mỗi lon nước ngọt có dạng hình trụ, bán kính đáy r=2,9 cm và chiều cao h=12 cm. Người ta xếp các lon thẳng đứng vào trong hộp sao cho các lon không chồng lên nhau (minh họa bằng hình vẽ bên).

    a) Tính thể tích hộp giấy.

    b) Có thể xếp được tối đa bao nhiêu lon nước ngọt trên vào thùng giấy? (Lấy π≈3,14).

Gọi số lần học sinh ném trúng là \(x\) (lần). ĐK \(x \in \mathbb{N}\)

Thì số lần học sinh ném trượt là \(20 - x\) (lần)

Điểm nhận được khi ném trúng là \(4x\) (điểm)

Điểm nhận được khi ném trượt là \( - 1\left( {20 - x} \right)\) (điểm)

Vì học sinh nào đạt từ \[50\] điểm trở lên sẽ được vào đội tuyển nên ta có bất phương trình \(4x - \left( {20 - x} \right) \ge 50\)

\(4x - 20 + x \ge 50\)

\(x \ge 14\)

Mà \(x \in \mathbb{N}\), \(x\) nhỏ nhất nên \(x = 14\).

Vậy học sinh phải ném trúng ít nhất \(14\) lần để được vào đội tuyển của trường.

1) Thay \(x = 81\) (TMĐK) vào biểu thức \(B\), ta được:

\(B = \frac{{\sqrt {81}  - 3}}{{\sqrt {81}  - 2}} = \frac{{9 - 3}}{{9 - 2}} = \frac{6}{7}\).

Vậy khi \(x = 81\) thì \(B = \frac{6}{7}\).

2) Với \(x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9\), ta có:

\(A = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{3 - 11\sqrt x }}{{9 - x}}\)

\( = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}} - \frac{{3 - 11\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right) + \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right) - \left( {3 - 11\sqrt x } \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{2x - 6\sqrt x  + x + 3\sqrt x  + \sqrt x  + 3 - 3 + 11\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{3x + 9\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\)\( = \frac{{3\sqrt x (\sqrt x  + 3)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\)\( = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}}\).

Vậy với \(x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9\) thì \(A = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}}.\)

3) Tìm tất cả các giá trị của \(x\) để \(P = A.B\) có giá trị không âm.

Ta có \(P = A \cdot B\)\( = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} \cdot \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  - 2}} = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}\)

Để \(P\) có giá trị không âm thì \(P \ge 0\) nên \(\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} \ge 0\).

Vì \(x \ge 0\) nên \(\sqrt x  \ge 0\), do đó \(3\sqrt x  \ge 0\). Ta xét 2 trường hợp:

TH1: \(3\sqrt x  = 0\) suy ra \(x = 0\). Thay vào \(P\) ta được \(P = \frac{0}{{ - 2}} = 0 \ge 0\) (TMĐK).

TH2: \(3\sqrt x  > 0\) suy ra \(x > 0\).

Để \(P \ge 0\) mà \(3\sqrt x  > 0\) (vì \(x > 0\)) thì \(\sqrt x  - 2 > 0\) suy ra \(\sqrt x  > 2\) nên \(x > 4\).

Kết hợp cả 2 trường hợp với điều kiện xác định (\(x \ne 9\)), ta được: \(x = 0\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x > 4\\x \ne 9\end{array} \right.\).

Vậy \(x = 0\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x > 4\\x \ne 9\end{array} \right.\) thì \(P\) có giá trị không âm.