(2,5 điểm)

Quãng đường từ nhà bác An về quê dài \(230\,\,{\rm{km}}\). Bác thuê xe taxi chờ các con về quê chơi trong dịp hè. Tiền xe \(150\,\,{\rm{km}}\) đầu tiên theo giá niêm yết, sau \(150\,\,{\rm{km}}\) thì mỗi km được giảm \(10\% \). Khi về đến quê, bác An phải trả \(2\,\,664\,\,000\) đồng. Hỏi giá niêm yết mỗi km hết bao nhiêu tiền.

- Gọi \(x\) là số lần tăng giá (mỗi lần tăng \[2000\] đồng). Điều kiện:\(x \in {\mathbb{N}^*}\)

- Giá bán mới của mỗi ly trà sữa sẽ là: \(30\,000 + 2000x\) (đồng).

- Số lượng ly trà sữa bán ra mỗi ngày sẽ giảm tương ứng là: \(150 - 5x\) (ly)

- Lợi nhuận của một ly trà sữa là: \(30\,000 + 2000x - 18\,000\)\( = 12\,000 + 2000x\)   ( đồng).

- Lợi nhuận một ngày của cửa hàng:

\( = \left( {12\,000 + 2000x} \right)\left( {150 - 5x} \right)\)

\( =  - 10\,000{x^2} + 24\,0000x + 1\,\,800\,000\)

\( =  - 10\,000({x^2} - 24x - 180)\)

\( =  - 10\,000\left[ {{{\left( {x - 12} \right)}^2} - 324} \right]\)

\( =  - 10\,000{\left( {x - 12} \right)^2} + 3\,240\,000\)

Vì \({\left( {x - 12} \right)^2} \ge 0\)với mọi \[x\] thoả mãn điều kiện.

\( - 10\,000{\left( {x - 12} \right)^2} \le 0\)

\( - 10\,000{\left( {x - 12} \right)^2} + 3\,240\,000 \le 3\,240\,000\)

Lợi nhuận 1 ngày lớn nhất là: \(3\,240\,000\) khi \(x - 12 = 0\) hay \(x = 12\)

Khi đó giá bán một ly trà sữa là: \(30\,000 + 2\,000.12 = 54\,000\)( đồng).

Vậy cảu hàng phải bán giá một ly trà sữa là: \(54\,000\)( đồng) để có lợi nhuận mỗi ngày lớn nhất.

a) Tính thể tích bể

Bán kính đáy: \(R = 1,4:2 = 0,7{\rm{ (m)}}\).

Chiều cao phần hình nón: \({h_{n{\rm{\'o }}n}} = 3,2 - 1,2 = 2{\rm{ (m)}}\).

Thể tích phần hình trụ: \({V_{tru}} = \pi {R^2}{h_{tru}} = \pi  \cdot {0,7^2} \cdot 1,2 = 0,588\pi {\rm{ (}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}\).

Thể tích phần hình nón: \({V_{n{\rm{\'o }}n}} = \frac{1}{3}\pi {R^2}{h_{n{\rm{\'o }}n}} = \frac{1}{3}\pi  \cdot {0,7^2} \cdot 2 = \frac{{0,49 \cdot 2}}{3}\pi  = \frac{{49}}{{150}}\pi {\rm{ (}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}\).

Vậy thể tích của bể là \(V = 0,588\pi  + \frac{{49}}{{150}}\pi  = \frac{{1372}}{{1500}}\pi  = \frac{{229}}{{250}}\pi {\rm{ (}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}\).

b) Tính khoảng cách từ mực nước đến miệng bể

Lượng nước bơm vào sau 25 phút:

\({V_{nuoc}} = 1,4 \cdot (25 \cdot 60) = 2100{\rm{ l\'i t}} = 2,1{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}\).

Thể tích phần hình nón (xấp xỉ): \({V_{n{\rm{\'o }}n}} \approx \frac{1}{3} \cdot 3,14 \cdot {0,7^2} \cdot 2 \approx 1,0257{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}\).

Vì \({V_{nuoc}} > {V_{n{\rm{\'o }}n}}\) nên nước đã ngập hết phần nón và đang ở trong phần trụ.

Thể tích nước nằm trong phần hình trụ:

\({V_{nuoc\_tru}} = {V_{nuoc}} - {V_{n{\rm{\'o }}n}} \approx 2,1 - 1,0257 = 1,0743{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}\).

Chiều cao mực nước trong phần trụ

\({h_{nuoc\_tru}} = \frac{{{V_{nuoc\_tru}}}}{{\pi {R^2}}} \approx \frac{{1,0743}}{{3,14 \cdot {{0,7}^2}}} \approx 0,6982{\rm{ m}}\).

Vậy khoảng cách từ mực nước đến miệng bể:

\(d = {h_{tru}} - {h_{nuoc\_tru}} \approx 1,2 - 0,6982 = 0,5018 \approx 0,50{\rm{ (m)}}\).