(0,5 điểm) Một cửa hàng trà sữa đang bán mỗi ly trà sữa với giá \(30000\) đồng. Ở mức giá này, mỗi ngày cửa hàng bán được trung bình \(150\) ly. Chủ cửa hàng dự định tăng giá bán để thu được nhiều lợi nhuận nhất. Qua khảo sát thị trường, chủ cửa hàng thấy rằng: cứ mỗi lần tăng giá thêm \(2000\) đồng thì số lượng ly trà sữa bán ra mỗi ngày sẽ giảm đi \(5\) ly. Biết chi phí để làm ra \(1\) ly trà sữa là \(18000\) đồng. Hỏi cửa hàng nên bán trà sữa với giá bao nhiêu để tổng lợi nhuận mỗi ngày đạt giá trị lớn nhất?

             Gọi giá niêm yết mỗi km là \(x\) (đồng) \(\left( {x > 0} \right)\)

             Số tiền trong \(150\,\,{\rm{km}}\) đầu tiên là \(150x\)(đồng)

             Số tiền trong \(80km\) tiếp theo là \(80x.90\% = 72x\)(đồng)

             Số tiền bác An phải trả là \(2\,\,664\,\,000\) đồng nên ta có phương trình

             \(150x + 72x = 2\,\,664\,\,000\)

             \(222x = 2\,\,664\,\,000\)

             \(x = 12\,\,000\)

             Vậy giá niêm yết một km ban đầu là \(12\,\,000\) đồng.

a) Tính thể tích bể

Bán kính đáy: \(R = 1,4:2 = 0,7{\rm{ (m)}}\).

Chiều cao phần hình nón: \({h_{n{\rm{\'o }}n}} = 3,2 - 1,2 = 2{\rm{ (m)}}\).

Thể tích phần hình trụ: \({V_{tru}} = \pi {R^2}{h_{tru}} = \pi  \cdot {0,7^2} \cdot 1,2 = 0,588\pi {\rm{ (}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}\).

Thể tích phần hình nón: \({V_{n{\rm{\'o }}n}} = \frac{1}{3}\pi {R^2}{h_{n{\rm{\'o }}n}} = \frac{1}{3}\pi  \cdot {0,7^2} \cdot 2 = \frac{{0,49 \cdot 2}}{3}\pi  = \frac{{49}}{{150}}\pi {\rm{ (}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}\).

Vậy thể tích của bể là \(V = 0,588\pi  + \frac{{49}}{{150}}\pi  = \frac{{1372}}{{1500}}\pi  = \frac{{229}}{{250}}\pi {\rm{ (}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}\).

b) Tính khoảng cách từ mực nước đến miệng bể

Lượng nước bơm vào sau 25 phút:

\({V_{nuoc}} = 1,4 \cdot (25 \cdot 60) = 2100{\rm{ l\'i t}} = 2,1{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}\).

Thể tích phần hình nón (xấp xỉ): \({V_{n{\rm{\'o }}n}} \approx \frac{1}{3} \cdot 3,14 \cdot {0,7^2} \cdot 2 \approx 1,0257{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}\).

Vì \({V_{nuoc}} > {V_{n{\rm{\'o }}n}}\) nên nước đã ngập hết phần nón và đang ở trong phần trụ.

Thể tích nước nằm trong phần hình trụ:

\({V_{nuoc\_tru}} = {V_{nuoc}} - {V_{n{\rm{\'o }}n}} \approx 2,1 - 1,0257 = 1,0743{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}\).

Chiều cao mực nước trong phần trụ

\({h_{nuoc\_tru}} = \frac{{{V_{nuoc\_tru}}}}{{\pi {R^2}}} \approx \frac{{1,0743}}{{3,14 \cdot {{0,7}^2}}} \approx 0,6982{\rm{ m}}\).

Vậy khoảng cách từ mực nước đến miệng bể:

\(d = {h_{tru}} - {h_{nuoc\_tru}} \approx 1,2 - 0,6982 = 0,5018 \approx 0,50{\rm{ (m)}}\).