Cho hàm số f(x) = \({e^{ - x}}{\left( {{e^{2x}} + 1} \right)^2}\). Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) thỏa mãn F(0) = \(\frac{4}{3}\). Tính giá trị của biểu thức 3F(ln 2).
Cho hàm số f(x) = \({e^{ - x}}{\left( {{e^{2x}} + 1} \right)^2}\). Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) thỏa mãn F(0) = \(\frac{4}{3}\). Tính giá trị của biểu thức 3F(ln 2).
Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Nguyên hàm lớp 12 (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 18,5
Ta tiến hành khai triển biểu thức của hàm số:
f(x) = \({e^{ - x}}\left( {{e^{4x}} + 2{e^{2x}} + 1} \right) = {e^{3x}} + 2{e^x} + {e^{ - x}}\).
Khi đó họ nguyên hàm của f(x) là:
F(x) = \(\int {\left( {{e^{3x}} + 2{e^x} + {e^{ - x}}} \right)} dx = \frac{1}{3}{e^{3x}} + 2{e^x} - {e^{ - x}} + C\).
Thay điều kiện F(0) = \(\frac{4}{3}\) ta được: \(\frac{1}{3}{e^0} + 2{e^0} - {e^0} + C = \frac{4}{3}\) suy ra \(\frac{1}{3} + 2 - 1 + C = \frac{4}{3}\)
Tương đương \(\frac{4}{3} + C = \frac{4}{3}\) hay C = 0.
Nguyên hàm hoàn chỉnh là F(x) = \(\frac{1}{3}{e^{3x}} + 2{e^x} - {e^{ - x}}\).
Tính giá trị tại x = ln 2:
F(ln 2) = \(\frac{1}{3}{e^{3\ln 2}} + 2{e^{\ln 2}} - {e^{ - \ln 2}} = \frac{1}{3}{e^{\ln 8}} + 2 \cdot 2 - \frac{1}{2} = \frac{8}{3} + 4 - 0,5 = \frac{8}{3} + \frac{7}{2} = \frac{{37}}{6}\).
Biểu thức cần tính có giá trị là \(3 \cdot \frac{{37}}{6} = \frac{{37}}{2} = 18,5.\)
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} - \frac{{\sin 2x}}{2} + C\);
B. \(\int {f\left( x \right)dx} = {4^x}\ln 4 + \frac{{\sin 2x}}{2} + C\);
C. \(\int {f\left( x \right)dx} = {4^x}\ln 4 - \frac{{\sin 2x}}{2} + C\);
D. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} + \frac{{\sin 2x}}{2} + C\).
Lời giải
Đáp án đúng là: D
\(\int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {{4^x} + \cos 2x} \right)dx} } = \frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} + \frac{{\sin 2x}}{2} + C\).
Câu 2
A. 3ex + C;
B. \(\frac{1}{3}{e^{3x}} + C\);
C. \(\frac{1}{3}{e^x} = C\);
D. 3e3x + C.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\int {{e^{3x}}dx} = \frac{1}{3}{e^{3x}} + C\).
Câu 3
A. \(\int {\left( {{3^x} + 2x} \right)dx} = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + {x^2} + C\);
B. \(\int {\left( {{3^x} + 2x} \right)dx} = {3^x}.\ln 3 + {x^2} + C\);
C. \(\int {\left( {{3^x} + 2x} \right)dx} = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + x + C\);
D. \(\int {\left( {{3^x} + 2x} \right)dx} = {3^x}.\ln 3 + x + C\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{2{e^{3x}}}}{3} - 3{e^x} + C\);
B. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{2{e^{3x}}}}{3} + 3{e^x} + C\);
C. \(\int {f\left( x \right)dx} = {e^x}\left( {{e^{2x}} - 3} \right) + C\);
D. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{{e^{3x}}}}{3} + 3{e^x} + C\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(\int {{2^x}dx} = \ln {2.2^x} + C\);
B. \(\int {{2^x}dx} = {2^x} + C\);
C. \(\int {{2^x}dx} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C\);
D. \(\int {{2^x}dx} = \frac{{{2^x}}}{{x + 1}} + C\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \({x^2} + \frac{{{e^{2020x}}}}{{2020}} + C\);
B. \({x^3} + \frac{{{e^{2020x}}}}{{2020}} + C\);
C. \(\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{e^{2020x}}}}{{2020}} + C\);
D. \(x + \frac{{{e^{2020x}}}}{{2020}} + C\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \(\int {f\left( x \right)dx} = {e^{x - 2}} + C\);
B. \(\int {f\left( x \right)dx} = {e^x} + 2x + C\);
C. \(\int {f\left( x \right)dx} = {e^x} + C\);
D. \(\int {f\left( x \right)dx} = {e^x} - 2x + C\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập