(0,5 điểm) Cho góc \(\alpha \) thỏa \(0^\circ \le \alpha \le 180^\circ \) và \({\rm{cos}}\alpha = - \frac{1}{2}\).

Tính giá trị của biểu thức \(P = 18 \cdot {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha + 10 \cdot {\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}\alpha + 2025 \cdot {\rm{cos}}\left( {180^\circ - \alpha } \right).\)

Gọi \(x\) là số sản phẩm thường và \(y\) là số sản phẩm cao cấp được sản xuất trong một ngày (\(x \in \mathbb{N},y \in \mathbb{N}\)).

Dựa vào các điều kiện giới hạn công suất, ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y \le 12}\\{2x + y \le 12}\\{x + y \le 7}\\{x \ge 0}\\{y \ge 0}\end{array}} \right.\).

Lợi nhuận là: \(L\left( {x;y} \right) = 2x + 3y\) (triệu đồng).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền ngũ giác \(OABCD\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) với \(O\left( {0;0} \right)\), \(A\left( {6;0} \right)\), \(B\left( {5;2} \right)\), \(C\left( {2;5} \right)\), \(D\left( {0;6} \right)\).

Tính giá trị lợi nhuận \(L\left( {x;y} \right)\) tại năm đỉnh này:

Tại \(O\left( {0;0} \right) \Rightarrow L = 0\).

Tại \(A\left( {6;0} \right) \Rightarrow L = 2 \cdot 6 + 0 = 12\).

Tại \(B\left( {5;2} \right) \Rightarrow L = 2 \cdot 5 + 3 \cdot 2 = 16\).

Tại \(C\left( {2;5} \right) \Rightarrow L = 2 \cdot 2 + 3 \cdot 5 = 19\).

Tại \(D\left( {0;6} \right) \Rightarrow L = 3 \cdot 6 = 18\).

So sánh các giá trị, ta thấy lợi nhuận lớn nhất đạt được là \(19\) triệu đồng tại \(x = 2,y = 5\).

Vậy mỗi ngày hộ kinh doanh thu được lợi nhuận nhiều nhất là \(19\) triệu đồng.

a) ĐÚNG. Nhìn từ trái sang phải dọc trục \(Ox\), đồ thị bắt đầu tại điểm có hoành độ \(x = - 3\) và kết thúc tại điểm có hoành độ \(x = 4\). Do đó tập xác định là \(D = \left[ { - 3;4} \right]\).

b) ĐÚNG. Nhìn từ dưới lên trên dọc trục \(Oy\), điểm thấp nhất của đồ thị có tung độ \(y = - 2\) (tại \(x = - 1\)) và điểm cao nhất của đồ thị có tung độ \(y = 3\) (tại \(x = 2\)). Do đó tập giá trị là \(\left[ { - 2;3} \right]\).

c) SAI. Trên khoảng \(\left( { - 1;2} \right)\), đồ thị đi lên nên hàm số đồng biến trên \(\left( { - 1;2} \right)\). Khoảng \(\left( { - 2;3} \right)\) không phải khoảng đồng biến của hàm số (vì trên \(\left( { - 2; - 1} \right)\) đồ thị đi xuống, hàm số nghịch biến).

d) SAI. Xét trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\):

Tại \(x = 0 \Rightarrow y = 0\).

Trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\), đồ thị đi lên từ \(\left( {0;0} \right)\) đến cao nhất tại điểm \(\left( {2;3} \right) \Rightarrow M = 3\).

Trên đoạn \(\left[ {2;4} \right]\), đồ thị đi xuống từ \(\left( {2;3} \right)\) đến thấp nhất tại điểm \(\left( {4; - 1} \right) \Rightarrow m = - 1\).

Vậy trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\), giá trị lớn nhất là \(M = 3\) và giá trị nhỏ nhất là \(m = - 1\).

Tính tổng bình phương: \({M^2} + {m^2} = {3^2} + {\left( { - 1} \right)^2} = 9 + 1 = 10 \ne 13\). Do đó mệnh đề phát biểu \({M^2} + {m^2} = 13\) là SAI.