Cho tam giác \(ABC\) có \(AC = 5{\rm{\;cm}}\), \(\hat A = {60^ \circ }\), \(\hat B = {45^ \circ }\). Gọi \(I\) là điểm thuộc cạnh \(AB\) sao cho \(AI = 3{\rm{\;cm}}\).

Theo dữ liệu bài toán và mô phỏng trên hình vẽ, ta xét các tam giác phẳng \(ABP\) và \(ABQ\) trên cùng một mặt phẳng thẳng đứng chứa các điểm đỉnh núi:

Xét tam giác \(ABP\):

Ta có cạnh \(AB = 1{\rm{\;km}}\).

Góc tại \(A\): \(\widehat {PAB} = {60^ \circ }\).

Góc tại \(B\): \(\widehat {PBA} = {40^ \circ }\).

Góc tại đỉnh \(P\):

\(\widehat {APB} = {180^ \circ } - \left( {\widehat {PAB} + \widehat {PBA}} \right) = {180^ \circ } - \left( {{{60}^ \circ } + {{40}^ \circ }} \right) = {80^ \circ }\)

Áp dụng định lý sin trong tam giác \(ABP\) để tính cạnh \(AP\):

\(\frac{{AB}}{{{\rm{sin}}\widehat {APB}}} = \frac{{AP}}{{{\rm{sin}}\widehat {PBA}}} \Rightarrow AP = \frac{{1 \cdot {\rm{sin}}{{40}^ \circ }}}{{{\rm{sin}}{{80}^ \circ }}} \approx \frac{{0,6428}}{{0,9848}} \approx 0,6527{\rm{\;km}}\)

Xét tam giác \(ABQ\):

Ta có cạnh \(AB = 1{\rm{\;km}}\).

Góc tại \(A\): \(\widehat {QAB} = {35^ \circ }\).

Góc tại \(B\): \(\widehat {QBA} = {25^ \circ }\).

Góc tại đỉnh \(Q\):

\(\widehat {AQB} = {180^ \circ } - \left( {\widehat {QAB} + \widehat {QBA}} \right) = {180^ \circ } - \left( {{{35}^ \circ } + {{25}^ \circ }} \right) = {120^ \circ }\)

Áp dụng định lý sin trong tam giác \(ABQ\) để tính cạnh \(AQ\):

\(\frac{{AB}}{{{\rm{sin}}\widehat {AQB}}} = \frac{{AQ}}{{{\rm{sin}}\widehat {QBA}}} \Rightarrow AQ = \frac{{1 \cdot {\rm{sin}}{{25}^ \circ }}}{{{\rm{sin}}{{120}^ \circ }}} = \frac{{{\rm{sin}}{{25}^ \circ }}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} \approx \frac{{0,4226}}{{0,8660}} \approx 0,4880{\rm{\;km}}\)

Xét tam giác \(APQ\):

Ta biết góc kẹp giữa hai tia ngắm từ \(A\) đến hai đỉnh núi \(P\) và \(Q\) là:

\(\widehat {PAQ} = \widehat {PAB} - \widehat {QAB} = {60^ \circ } - {35^ \circ } = {25^ \circ }\)

Áp dụng định lý côsin trong tam giác \(APQ\) để tìm độ dài khoảng cách \(PQ\):

\(P{Q^2} = A{P^2} + A{Q^2} - 2 \cdot AP \cdot AQ \cdot {\rm{cos}}\widehat {PAQ}\)

Thay số cụ thể vào phương trình:

\(P{Q^2} \approx {\left( {0,6527} \right)^2} + {\left( {0,4880} \right)^2} - 2 \cdot \left( {0,6527} \right) \cdot \left( {0,4880} \right) \cdot {\rm{cos}}{25^ \circ }\)

\(P{Q^2} \approx 0,4260 + 0,2381 - 2 \cdot 0,3185 \cdot 0,9063\)

\(P{Q^2} \approx 0,6641 - 0,5773 = 0,0868\)

\( \Rightarrow PQ = \sqrt {0,0868} \approx 0,2946{\rm{\;km}}\)

Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm, khoảng cách giữa hai đỉnh núi \(P\) và \(Q\) là \(0,29{\rm{\;km}}\).

Đáp án:

Áp dụng hệ quả định lý côsin cho góc \(A\) trong tam giác \(ABC\):

\({\rm{cos}}A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2 \cdot AB \cdot AC}}\)

Thay các giá trị vào hệ thức:

\({\rm{cos}}A = \frac{{{5^2} + {8^2} - {7^2}}}{{2 \cdot 5 \cdot 8}} = \frac{{25 + 64 - 49}}{{80}} = \frac{{40}}{{80}} = \frac{1}{2}\)

Vì \({\rm{cos}}A = \frac{1}{2}\) nên \(\hat A = {60^ \circ }\). Vậy \(a = 60\).

Đáp số: 60