Vào lúc 6 giờ sáng, một tàu đánh cá xuất phát từ cảng A, đi theo hướng \(N{70^ \circ }E\) với vận tốc \(50{\rm{\;km/h}}{\rm{.}}\) Lúc 8 giờ sáng, một tàu du lịch cũng xuất phát từ cảng A, đi theo hướng \(N{30^ \circ }W\) với vận tốc \(70{\rm{\;km/h}}\). Sau 3 giờ kể từ khi tàu đánh cá xuất phát thì tàu đánh cá chuyển hướng đi về hướng bắc với vận tốc \(40{\rm{\;km/h}}\). Hỏi đến 11 giờ tàu du lịch cách tàu đánh cá bao nhiêu kilomet? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Theo dữ liệu bài toán và mô phỏng trên hình vẽ, ta xét các tam giác phẳng \(ABP\) và \(ABQ\) trên cùng một mặt phẳng thẳng đứng chứa các điểm đỉnh núi:

Xét tam giác \(ABP\):

Ta có cạnh \(AB = 1{\rm{\;km}}\).

Góc tại \(A\): \(\widehat {PAB} = {60^ \circ }\).

Góc tại \(B\): \(\widehat {PBA} = {40^ \circ }\).

Góc tại đỉnh \(P\):

\(\widehat {APB} = {180^ \circ } - \left( {\widehat {PAB} + \widehat {PBA}} \right) = {180^ \circ } - \left( {{{60}^ \circ } + {{40}^ \circ }} \right) = {80^ \circ }\)

Áp dụng định lý sin trong tam giác \(ABP\) để tính cạnh \(AP\):

\(\frac{{AB}}{{{\rm{sin}}\widehat {APB}}} = \frac{{AP}}{{{\rm{sin}}\widehat {PBA}}} \Rightarrow AP = \frac{{1 \cdot {\rm{sin}}{{40}^ \circ }}}{{{\rm{sin}}{{80}^ \circ }}} \approx \frac{{0,6428}}{{0,9848}} \approx 0,6527{\rm{\;km}}\)

Xét tam giác \(ABQ\):

Ta có cạnh \(AB = 1{\rm{\;km}}\).

Góc tại \(A\): \(\widehat {QAB} = {35^ \circ }\).

Góc tại \(B\): \(\widehat {QBA} = {25^ \circ }\).

Góc tại đỉnh \(Q\):

\(\widehat {AQB} = {180^ \circ } - \left( {\widehat {QAB} + \widehat {QBA}} \right) = {180^ \circ } - \left( {{{35}^ \circ } + {{25}^ \circ }} \right) = {120^ \circ }\)

Áp dụng định lý sin trong tam giác \(ABQ\) để tính cạnh \(AQ\):

\(\frac{{AB}}{{{\rm{sin}}\widehat {AQB}}} = \frac{{AQ}}{{{\rm{sin}}\widehat {QBA}}} \Rightarrow AQ = \frac{{1 \cdot {\rm{sin}}{{25}^ \circ }}}{{{\rm{sin}}{{120}^ \circ }}} = \frac{{{\rm{sin}}{{25}^ \circ }}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} \approx \frac{{0,4226}}{{0,8660}} \approx 0,4880{\rm{\;km}}\)

Xét tam giác \(APQ\):

Ta biết góc kẹp giữa hai tia ngắm từ \(A\) đến hai đỉnh núi \(P\) và \(Q\) là:

\(\widehat {PAQ} = \widehat {PAB} - \widehat {QAB} = {60^ \circ } - {35^ \circ } = {25^ \circ }\)

Áp dụng định lý côsin trong tam giác \(APQ\) để tìm độ dài khoảng cách \(PQ\):

\(P{Q^2} = A{P^2} + A{Q^2} - 2 \cdot AP \cdot AQ \cdot {\rm{cos}}\widehat {PAQ}\)

Thay số cụ thể vào phương trình:

\(P{Q^2} \approx {\left( {0,6527} \right)^2} + {\left( {0,4880} \right)^2} - 2 \cdot \left( {0,6527} \right) \cdot \left( {0,4880} \right) \cdot {\rm{cos}}{25^ \circ }\)

\(P{Q^2} \approx 0,4260 + 0,2381 - 2 \cdot 0,3185 \cdot 0,9063\)

\(P{Q^2} \approx 0,6641 - 0,5773 = 0,0868\)

\( \Rightarrow PQ = \sqrt {0,0868} \approx 0,2946{\rm{\;km}}\)

Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm, khoảng cách giữa hai đỉnh núi \(P\) và \(Q\) là \(0,29{\rm{\;km}}\).

Đáp án:

Tìm các phần tử của tập hợp \(A\):

\(\left( {2 - x} \right)\left( {{x^2} - 3x - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{*{20}{c}}{2 - x = 0}\\{{x^2} - 3x - 4 = 0}\end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{x = - 1}\\{x = 4}\end{array}\)

Vì tất cả các nghiệm trên đều thuộc tập số nguyên \(\mathbb{Z}\) nên \(A = \left\{ { - 1;2;4} \right\}\).

Tìm các phần tử của tập hợp \(B\):

\(x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - 1 \Rightarrow B = \left[ { - 1; + \infty } \right)\)

Tìm tập hợp giao \(A \cap B\):

\(A \cap B = \left\{ { - 1;2;4} \right\} \cap \left[ { - 1; + \infty } \right) = \left\{ { - 1;2;4} \right\}\)

Đề bài hỏi các số tự nhiên thuộc tập hợp \(A \cap B\). Tập các số tự nhiên \(\mathbb{N} = \left\{ {0,1,2,3, \ldots } \right\}\).

Trong các phần tử trên, các số tự nhiên gồm có: \(2\) và \(4\). Như vậy có 2 số tự nhiên thỏa mãn.

Đáp số: 2