Gia đình bạn Hoa sở hữu một khu vườn hình tam giác \(ABC\) được bao quanh hàng rào. Chiều dài hàng rào \(AB = 18{\rm{\;m}}\), chiều dài hàng rào \(AC = 15{\rm{\;m}}\) và \(\widehat {BAC} = {60^ \circ }\). Tính chiều dài hàng rào \(BC\) và diện tích khu vườn nhà bạn Hoa. (Kết quả làm tròn đến chữ số thứ nhất sau dấu phẩy).

Đáp án:

Gọi \(x\) và \(y\) lần lượt là số đèn ngôi sao và số đèn con thỏ bạn Lan làm (\(x,y \in \mathbb{N}\)).

Theo điều kiện bài toán, ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 3y \le 30}\\{x + y \ge 12}\\{x \ge 0,\,y \ge 0}\end{array}} \right.\).

Số tiền thu được (đơn vị: nghìn đồng) là: \(F\left( {x,y} \right) = 95x + 105y\).

Biểu diễn miền nghiệm của hệ trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\):

Các giao điểm của miền nghiệm (hình tam giác tạo bởi các đường biên):

Giao điểm của \(2x + 3y = 30\) và \(x + y = 12\):

Giải hệ phương trình ra nghiệm \(x = 6,y = 6 \Rightarrow A\left( {6;6} \right)\).

Giao điểm của \(x + y = 12\) với trục \(Ox\) (\(y = 0\)): \(B\left( {12;0} \right)\). Thay vào thời gian: \(2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 24 \le 30\) (thỏa mãn).

Giao điểm của \(2x + 3y = 30\) với trục \(Ox\) (\(y = 0\)): \(C\left( {15;0} \right)\).

Miền nghiệm là tam giác \(ABC\) kể cả biên với các đỉnh \(A\left( {6;6} \right)\), \(B\left( {12;0} \right)\), \(C\left( {15;0} \right)\).

Tính giá trị của \(F\left( {x,y} \right)\) tại các đỉnh:

Tại \(A\left( {6;6} \right)\): \(F\left( {6,6} \right) = 95 \cdot 6 + 105 \cdot 6 = 1200\) (nghìn đồng) \( = 1,2\) triệu đồng.

Tại \(B\left( {12;0} \right)\): \(F\left( {12,0} \right) = 95 \cdot 12 + 0 = 1140\) (nghìn đồng) \( = 1,14\) triệu đồng.

Tại \(C\left( {15;0} \right)\): \(F\left( {15,0} \right) = 95 \cdot 15 + 0 = 1425\) (nghìn đồng) \( = 1,425\) triệu đồng.

Số tiền lớn nhất thu được là \(1,425\) triệu đồng.

Đáp số: 1,425

Vẽ đường thẳng \({d_1}:x - 2y = 2\).

Cho \(x = 0 \Rightarrow y = - 1 \Rightarrow \left( {0; - 1} \right)\).

Cho \(y = 0 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow \left( {2;0} \right)\).

Thay tọa độ gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) vào bất phương trình \(x - 2y \le 2\): \(0 - 2 \cdot 0 \le 2\) (đúng). Vậy miền nghiệm của bất phương trình thứ nhất là nửa mặt phẳng bờ \({d_1}\) chứa gốc tọa độ \(O\).

Vẽ đường thẳng \({d_2}:x + y = 1\).

Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow \left( {0;1} \right)\).

Cho \(y = 0 \Rightarrow x = 1 \Rightarrow \left( {1;0} \right)\).

Thay tọa độ gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) vào bất phương trình \(x + y \ge 1\): \(0 + 0 \ge 1\) (sai). Vậy miền nghiệm của bất phương trình thứ hai là nửa mặt phẳng bờ \({d_2}\) không chứa gốc tọa độ \(O\).

Kết luận: Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền giao của hai nửa mặt phẳng trên (miền không bị gạch chứa cả hai bờ \({d_1}\) và \({d_2}\) trong hình dưới).