Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng 1. Gọi M là trung điểm của BC.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Sai.                   d) Sai.

a) Đúng. Vì \(AA' \bot AM\) nên \[\overrightarrow {AA'} \bot \overrightarrow {AM} \]. Do đó \[\overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {AM} = 0\].

b) Đúng. \[\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \widehat {BAC} = 1 \cdot 1 \cdot \cos 60^\circ = \frac{1}{2}\].

c) Sai. \(\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {A'B} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AA'} } \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AA'} } \right)\)

Vì \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AA'} = 0;\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AA'} = 0\) nên \(\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {A'B} = \frac{1}{2}\left( {{{\overrightarrow {AB} }^2} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} } \right)\)\( = \frac{1}{2}\left( {{1^2} + \frac{1}{2}} \right) = \frac{3}{4}\).

d) Sai. Ta có \[\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {A'B} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {A'B} }}{{\left| {\overrightarrow {AM} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {A'B} } \right|}} = \frac{{\frac{3}{4}}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{4}\]\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {A'B} } \right) \approx 52,2^\circ \).