Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Vì AA' ^ AB nên \(\overrightarrow {AA'} \bot \overrightarrow {AB} \). Suy ra \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AA'} = 0\).
b) Đúng. Có \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC'} } \right) = \widehat {BAC'}\).
Ta có \(AC' = a\sqrt 3 ,BC' = a\sqrt 2 \).
Xét DABC' có \(\cos \widehat {BAC'} = \frac{{A{B^2} + A{{C'}^2} - B{{C'}^2}}}{{2 \cdot AB \cdot AC'}} = \frac{{{a^2} + 3{a^2} - 2{a^2}}}{{2\sqrt 3 {a^2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Do đó \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC'} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC'} } \right| \cdot \cos \widehat {BAC'} = a \cdot a\sqrt 3 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3} = {a^2}\).
c) Đúng. Vì \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BD\\B'D'//BD\end{array} \right.\) nên AC ^ B'D'. Do đó \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {B'D'} = 0\).
d) Đúng. Có \(\left( {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {AC'} } \right) = \widehat {B'AC'}\).
\(AC' = a\sqrt 3 ,AB' = a\sqrt 2 \).
Xét DAB'C' có \(\cos \widehat {B'AC'} = \frac{{A{{B'}^2} + A{{C'}^2} - B'{{C'}^2}}}{{2 \cdot AB' \cdot AC'}} = \frac{{2{a^2} + 3{a^2} - {a^2}}}{{2\sqrt 6 {a^2}}} = \frac{2}{{\sqrt 6 }}\).
Khi đó \(\overrightarrow {AB'} \cdot \overrightarrow {AC'} = \left| {\overrightarrow {AB'} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC'} } \right| \cdot \cos \widehat {B'AC'} = a\sqrt 2 \cdot a\sqrt 3 \cdot \frac{2}{{\sqrt 6 }} = 2{a^2}\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = 60^\circ \);
B. \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = 90^\circ \);
C. \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = 120^\circ \);
D. \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = 180^\circ \).
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Gọi M là trung điểm CD.
Ta có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} } \right).\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {CD} \).
Do tam giác ACD đều nên \(AM \bot CD \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {CD} = 0\).
Và tam giác BCD đều nên BM CD \( \Rightarrow \overrightarrow {BM} .\overrightarrow {CD} = 0\).
Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} } \right).\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {CD} = 0 \Rightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {CD} \).
Do đó \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = 90^\circ \).
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\overrightarrow {B'C'} = \overrightarrow {BC} \).
Do đó \(\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {B'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \widehat {ABC}\).
Mà tam giác ABC vuông tại B. Nên \(\widehat {ABC} = 90^\circ \Rightarrow \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {B'C'} } \right) = 90^\circ \).
Câu 3
A. 90°;
B. 60°;
C. 45°;
D. 30°.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'D'} } \right) = 90^\circ \);
B. \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = 45^\circ \);
C. \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {B'D'} } \right) = 90^\circ \);
D. \(\left( {\overrightarrow {A'A} ,\overrightarrow {CB'} } \right) = 45^\circ \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. α = 30°;
B. α = 45°;
C. α = 60°;
D. α = 120°.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. 12;
B. 6;
C. −12;
D. −6.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập