Cho \({\rm{sin}}\alpha = \frac{1}{5}\,\,\left( {{{90}^ \circ } < \alpha < {{180}^ \circ }} \right)\). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Vì \({90^ \circ } < \alpha < {180^ \circ }\) (góc tù thuộc góc phần tư thứ II) nên ta có: \({\rm{cos}}\alpha < 0,{\rm{tan}}\alpha < 0,{\rm{cot}}\alpha < 0\).

Ý a) ĐÚNG: Góc tù thì giá trị \({\rm{cos}}\alpha \) luôn âm.

Ý b) SAI: Sử dụng công thức \({\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1\), ta có:

\({\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1 - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{1}{5}} \right)^2} = \frac{{24}}{{25}}\)

Do \({\rm{cos}}\alpha < 0\) nên: \({\rm{cos}}\alpha = - \sqrt {\frac{{24}}{{25}}} = - \frac{{2\sqrt 6 }}{5}\).

Từ đây ta tìm giá trị \({\rm{tan}}\alpha \):

\({\rm{tan}}\alpha = \frac{{{\rm{sin}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }} = \frac{{\frac{1}{5}}}{{ - \frac{{2\sqrt 6 }}{5}}} = - \frac{{\sqrt 6 }}{{12}}\)

Mệnh đề đưa ra giá trị \({\rm{tan}}\alpha = - 2\sqrt 6 \) nên sai.

Ý c) ĐÚNG: Ta tìm giá trị của \({\rm{cot}}\alpha \):

\({\rm{cot}}\alpha = \frac{1}{{{\rm{tan}}\alpha }} = - 2\sqrt 6 \)

Áp dụng hệ thức lượng giác của hai góc bù nhau:

\({\rm{cot}}\left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) = - {\rm{cot}}\alpha = - \left( { - 2\sqrt 6 } \right) = 2\sqrt 6 \)

Ý d) SAI: Tính toán giá trị biểu thức \(C\):

Tử số: \({\rm{tan}}\alpha - {\rm{cot}}\alpha = - \frac{{\sqrt 6 }}{{12}} - \left( { - 2\sqrt 6 } \right) = \frac{{23\sqrt 6 }}{{12}}\)

Mẫu số: \(29{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha + 4{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 29 \cdot \frac{1}{{25}} + 4 \cdot \frac{{24}}{{25}} = \frac{{125}}{{25}} = 5\)

Suy ra: \(C = \frac{{\frac{{23\sqrt 6 }}{{12}}}}{5} = \frac{{23\sqrt 6 }}{{60}}\). Kết quả đề bài đưa ra sai mẫu số.