Cho \({\rm{cos}}\alpha = - \frac{2}{3}\) và \(\alpha \in \left( {{{90}^ \circ };{{180}^ \circ }} \right)\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Đáp án:

Bước 1: Xác định các đỉnh tọa độ của miền nghiệm đa giác tạo bởi hệ bất phương trình:

Biên đường thẳng đường thẳng: \({d_1}:y - 2x = 2\), \({d_2}:2y - x = 4\), \({d_3}:x + y = 5\).

Giao điểm \(A\) của \({d_1}\) và \({d_2}\):

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y - 2x = 2}\\{2y - x = 4}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = 2}\end{array}} \right. \Rightarrow A\left( {0;2} \right)\)

Giao điểm \(B\) của \({d_1}\) và \({d_3}\):

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y - 2x = 2}\\{x + y = 5}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 3}\end{array}} \right. \Rightarrow B\left( {1;3} \right)\)

Giao điểm \(C\) của \({d_2}\) và \({d_3}\):

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2y - x = 4}\\{x + y = 5}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 3}\end{array}} \right. \Rightarrow C\left( {2;3} \right)\)

Bước 2: Tính giá trị hàm mục tiêu \(F\left( {x,y} \right) = y - x\) tại ba tọa độ đỉnh đỉnh đa giác:

Tại \(A\left( {0;2} \right)\): \(F\left( {0,2} \right) = 2 - 0 = 2\).

Tại \(B\left( {1;3} \right)\): \(F\left( {1,3} \right) = 3 - 1 = 2\).

Tại \(C\left( {2;3} \right)\): \(F\left( {2,3} \right) = 3 - 2 = 1\).

Bước 3: So sánh tìm giá trị nhỏ nhất:

Nhận thấy giá trị cực tiểu nhỏ nhất của biểu thức là \(F = 1\) đạt được tại điểm đỉnh \(C\left( {2;3} \right)\).

Suy ra giá trị cặp nghiệm tối ưu là \({x_0} = 2\) và \({y_0} = 3\).

Bước 4: Tính giá trị biểu thức yêu cầu:

\(2x_0^2 + y_0^2 = 2 \cdot {\left( 2 \right)^2} + {\left( 3 \right)^2} = 2 \cdot 4 + 9 = 17\)

Kết quả: 17

Ta thay trực tiếp tọa độ từng cặp số vào hệ bất phương trình:

Xét cặp số \(\left( { - 1;1} \right)\) ở phương án C: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1 + 1 - 2 = - 2 \le 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {TM} \right)}\\{2 \cdot \left( { - 1} \right) - 3 \cdot 1 + 2 = - 3 \not > 0\,\,\,\left( {KTM} \right)}\end{array}} \right.\)

Vì cặp số \(\left( { - 1;1} \right)\) không thỏa mãn bất phương trình thứ hai nên nó không phải là nghiệm của hệ.

Chọn đáp án: C.