Bạn Lan mang 200.000 đồng đi nhà sách để mua một số quyển tập và bút. Biết rằng giá một quyển tập là 8.000 đồng và giá của một cây bút là 6.000 đồng. Bạn Lan có thể mua được tối đa bao nhiêu quyển tập nếu bạn đã mua 7 cây bút?

Đáp án:

Bước 1: Xác định các đỉnh tọa độ của miền nghiệm đa giác tạo bởi hệ bất phương trình:

Biên đường thẳng đường thẳng: \({d_1}:y - 2x = 2\), \({d_2}:2y - x = 4\), \({d_3}:x + y = 5\).

Giao điểm \(A\) của \({d_1}\) và \({d_2}\):

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y - 2x = 2}\\{2y - x = 4}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = 2}\end{array}} \right. \Rightarrow A\left( {0;2} \right)\)

Giao điểm \(B\) của \({d_1}\) và \({d_3}\):

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y - 2x = 2}\\{x + y = 5}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 3}\end{array}} \right. \Rightarrow B\left( {1;3} \right)\)

Giao điểm \(C\) của \({d_2}\) và \({d_3}\):

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2y - x = 4}\\{x + y = 5}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 3}\end{array}} \right. \Rightarrow C\left( {2;3} \right)\)

Bước 2: Tính giá trị hàm mục tiêu \(F\left( {x,y} \right) = y - x\) tại ba tọa độ đỉnh đỉnh đa giác:

Tại \(A\left( {0;2} \right)\): \(F\left( {0,2} \right) = 2 - 0 = 2\).

Tại \(B\left( {1;3} \right)\): \(F\left( {1,3} \right) = 3 - 1 = 2\).

Tại \(C\left( {2;3} \right)\): \(F\left( {2,3} \right) = 3 - 2 = 1\).

Bước 3: So sánh tìm giá trị nhỏ nhất:

Nhận thấy giá trị cực tiểu nhỏ nhất của biểu thức là \(F = 1\) đạt được tại điểm đỉnh \(C\left( {2;3} \right)\).

Suy ra giá trị cặp nghiệm tối ưu là \({x_0} = 2\) và \({y_0} = 3\).

Bước 4: Tính giá trị biểu thức yêu cầu:

\(2x_0^2 + y_0^2 = 2 \cdot {\left( 2 \right)^2} + {\left( 3 \right)^2} = 2 \cdot 4 + 9 = 17\)

Kết quả: 17

Mệnh đề a: ĐÚNG. Nửa chu vi tam giác \(p\) là:

\(p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{7 + 9 + 12}}{2} = 14\)

Mệnh đề b: SAI. Tính giá trị \({\rm{cos}}A\) qua định lí hàm số côsin:

\({\rm{cos}}A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{9^2} + {{12}^2} - {7^2}}}{{2 \cdot 9 \cdot 12}} = \frac{{81 + 144 - 49}}{{216}} = \frac{{176}}{{216}} = \frac{{22}}{{27}}\)

Mệnh đề c: SAI. Áp dụng hệ thức Heron để tính toán diện tích tam giác:

\(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {14 \cdot \left( {14 - 7} \right) \cdot \left( {14 - 9} \right) \cdot \left( {14 - 12} \right)} \)

\(S = \sqrt {14 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 2} = \sqrt {980} = 14\sqrt 5 \)

Mệnh đề d: SAI. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp \(R\) qua công thức diện tích:

\(S = \frac{{abc}}{{4R}} \Rightarrow R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{7 \cdot 9 \cdot 12}}{{4 \cdot 14\sqrt 5 }} = \frac{{756}}{{56\sqrt 5 }} = \frac{{27}}{{2\sqrt 5 }} = \frac{{27\sqrt 5 }}{{10}}\)