Cho biểu thức A = 2x³ + 3x² – 4x + 2 với

x = \(\sqrt {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } + \sqrt {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } - \sqrt {3 - \sqrt 5 } - 1\).

Đặt \(a = \sqrt {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } + \sqrt {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } \) (a > 0). Khi đó:

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng.              b) Sai.                    c) Đúng.             d) Đúng.

a) Đúng.

Ta có: \(a = \sqrt {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } + \sqrt {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } \)

 Suy ra \[{a^2} = {\left( {\sqrt {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } + \sqrt {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } } \right)^2}\]

\[{a^2} = {\left( {\sqrt {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } } \right)^2} + {\left( {\sqrt {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } } \right)^2} + 2\sqrt {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } .\sqrt {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } \]

\[{a^2} = 2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} + 2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} + 2\sqrt {\left( {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } \right).\left( {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } \right)} \]

\[{a^2} = 4 + 2\sqrt {4 - {{\left( {\sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } \right)}^2}} \]

\[{a^2} = 4 + 2\sqrt {4 - \frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} \]

\[{a^2} = 4 + \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } \]

\[{a^2} = 4 + \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} \]

\[{a^2} = 4 + \sqrt 5 - 1\]

\[{a^2} = 3 + \sqrt 5 \]

\[a = \sqrt {3 + \sqrt 5 } \].

b) Sai.

Ta có: x = \(\sqrt {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } + \sqrt {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } - \sqrt {3 - \sqrt 5 } - 1\)

          x = \[\sqrt {3 + \sqrt 5 } - \sqrt {3 - \sqrt 5 } - 1\].

Lại có \[{\left( {\sqrt {3 + \sqrt 5 } - \sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)^2} = 3 + \sqrt 5 + 3 - \sqrt 5 - 2\sqrt {\left( {3 - \sqrt 5 } \right)\left( {3 + \sqrt 5 } \right)} = 2\]

Suy ra \[\sqrt {3 + \sqrt 5 } - \sqrt {3 - \sqrt 5 } = \sqrt 2 \]

Vậy x = \[\sqrt 2 - 1\].

c) Đúng.

Thay \[x = \sqrt 2 - 1\] vào x² + 2x – 1 được

\[{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2} + 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right) - 1 = 2 - 2\sqrt 2 + 1 + 2\sqrt 2 - 2 - 1 = 0\].

d) Đúng

Ta có: A = 2x³ + 3x² – 4x + 2

               = 2x³ + 4x² – 2x – x² – 2x + 2

              = 2x(x² + 2x – 1) – (x² + 2x – 1) + 1

Thay \[x = \sqrt 2 - 1\] và x² + 2x – 1 = 0 vào A, ta được:

A = \(2.\left( {\sqrt 2 - 1} \right).0 - 0 + 1 = 1\).