Cho biểu thức \[T = \left( {\frac{{a\sqrt a - 1}}{{a - \sqrt a }} - \frac{{a\sqrt a + 1}}{{a + \sqrt a }}} \right):\frac{{a + 1}}{{a - 1}}\]. Khi đó:

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng.              b) Đúng.                c) Sai.                d) Đúng.

a) Đúng.

Với mọi a ≥ 0, ta có:

• \[a - \sqrt a \ne 0\] suy ra \[\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right) \ne 0\], do đó a ≠ 0 và a ≠ 1.

• \[a + \sqrt a \ne 0\] suy ra \[\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right) \ne 0\], do đó \[a \ne 0\].

• \[a - 1 \ne 0\] suy ra a ≠ 1.

Do đó, điều kiện xác định của T là \[a > 0,{\rm{ }}a \ne 1\].

b) Đúng.

Với \[a > 0,{\rm{ }}a \ne 1\], ta có:

\[T = \left( {\frac{{a\sqrt a - 1}}{{a - \sqrt a }} - \frac{{a\sqrt a + 1}}{{a + \sqrt a }}} \right):\frac{{a + 1}}{{a - 1}}\]

 \[ = \left[ {\frac{{a\sqrt a - 1}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} - \frac{{a\sqrt a + 1}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\sqrt a }}} \right] \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}\]

 \[ = \left[ {\frac{{\left( {a\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} - \frac{{\left( {a\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }}} \right] \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}\]

\[ = \frac{{\left( {a\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right) - \left( {a\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}\]

\[ = \frac{{{a^2} + a\sqrt a - \sqrt a - 1 - {a^2} + a\sqrt a - \sqrt a + 1}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}\]

\[ = \frac{{2a\sqrt a - 2\sqrt a }}{{\left( {a + 1} \right)\sqrt a }}\]

\[ = \frac{{2\left( {a - 1} \right)}}{{a + 1}}\].

Vậy với \[a > 0,{\rm{ }}a \ne 1\] ta được \[T = \frac{{2\left( {a - 1} \right)}}{{a + 1}}\].

c) Sai.

Vì biểu thức T có điều kiện xác định là \[a > 0,{\rm{ }}a \ne 1\], tức là tại a = 1 thì biểu thức T không có giá trị.

d) Đúng.

Thay a = 3 (thỏa mãn điều kiện) vào T, ta được: \[T = \frac{{2\left( {3 - 1} \right)}}{{3 + 1}} = \frac{{2.2}}{4} = 1.\]