Cho góc xOy cố định và hai điểm A, B thứ tự chuyển động trên Ox, Oy. Đường tròn nội tiếp tam giác OAB tiếp xúc với OA, OB lần lượt ở E, F.

a) Chứng minh OE = OF = \(\frac{{{\rm{OA}} + {\rm{OB}} - {\rm{AB}}}}{2}\).

b) Nếu chu vi tam giác OAB không đổi. Chứng minh AB luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Gọi tâm đường tròn nội tiếp DOAB là I và K là giao điểm của (I) và AB.

Vì (I) tiếp xúc với OA, OB, AB lần lượt ở E, F, K nên OE = OF, EA = AK, KB = BF.

Lại có: OE = OA – EA = OA – AK, OF = OB – FB = OB – KB.

Do đó, OE + OF = OA – AK + OB – KB = OA + OB – (AK + KB) = OA + OB – AB. Suy ra OE = OF = \(\frac{{{\rm{OA}} + {\rm{OB}} - {\rm{AB}}}}{2}\).

b) Gọi T là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác OAB tại đỉnh O. Đường tròn (T) tiếp xúc với Ax, By, AB lần lượt tại H, J, G. Do đó, AH = AG, GB = BJ.

Ta có: OH = OA + AH = OA + AG, OJ = OB + BJ = OB + BG.

Suy ra: OH + OJ = OA + AG + OB + BG = OA + OB + AB.

Suy ra OH = OJ = \(\frac{{{\rm{OA}} + {\rm{OB}} + {\rm{AB}}}}{2}\).Vì OA + AB + OB không đổi nên OH, OJ không đổi. Mà O cố định nên H, J cố định.

Lại có TH ^ Ox, TJ ^ Oy nên TH, TJ cố định. Suy ra, T cố định.

Vậy nếu chu vi tam giác OAB không đổi. Chứng minh AB luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Xem đáp án

Lời giải

a) 5xy²(–3y)² = 5xy². 9y² = (5.9).x.(y².y²) = 45xy⁴. Hệ số: 45, bậc: 5.

b) x²yz(–2xy)³ = x²yz.(–8)x³y³ = (–8)(x². x³)(y.y³)z = –8x⁵y⁴z. Hệ số: –8, bậc 10.

c) (–2x²y)². 8x³yz³ = 4x⁴y². 8x³yz³ = (4.8)(x⁴. x³)(y². y).z³ = 32x⁷y³z³.

Hệ số: 32, bậc: 13.

d) (–2xy³)². (–2xyz)³ = 4x²y⁶.(–8)x³y³z³= [4.(–8)](x². x³)(y⁶. y³).z³ = –32x⁵y⁹z³.

Hệ số: –32, bậc: 17.

e) (–5xy³z). (–4x²)² = –5xy³z. 16x⁴ = [(–5).16](x. x⁴)y³.z = –80x⁵y³z.

Hệ số: –80, bậc: 9.

f) (2x²y³)². (–2xy) = 4x⁴y⁶.(–2)xy = [4.(–2)](x⁴.x)(y⁶.y) = –8x⁵y⁷.

Hệ số: –8, bậc: 12.

Câu 2

Xem đáp án

Lời giải

a) Vì tứ giác ABCD là hình thang cân nên AD = BC, \(\widehat {\rm{D}} = \widehat {\rm{C}}\).

Xét DAHD và DBKC có: \(\widehat {{\rm{AHD}}} = \widehat {{\rm{BKC}}} = 90^\circ \), AD = BC, \(\widehat {\rm{D}} = \widehat {\rm{C}}\).

Do đó, DAHD = DBKC (ch – gn).

b) Vì DAHD = DBKC nên AH = BK. Lại có: AH // BK (cùng song song với DC).

Do đó, tứ giác ABKH là hình bình hành. Suy ra AB = HK.

Câu 3