Cho góc xOy cố định và hai điểm A, B thứ tự chuyển động trên Ox, Oy. Đường tròn nội tiếp tam giác OAB tiếp xúc với OA, OB lần lượt ở E, F.

a) Chứng minh OE = OF = \(\frac{{{\rm{OA}} + {\rm{OB}} - {\rm{AB}}}}{2}\).

b) Nếu chu vi tam giác OAB không đổi. Chứng minh AB luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Gọi tâm đường tròn nội tiếp DOAB là I và K là giao điểm của (I) và AB.

Vì (I) tiếp xúc với OA, OB, AB lần lượt ở E, F, K nên OE = OF, EA = AK, KB = BF.

Lại có: OE = OA – EA = OA – AK, OF = OB – FB = OB – KB.

Do đó, OE + OF = OA – AK + OB – KB = OA + OB – (AK + KB) = OA + OB – AB. Suy ra OE = OF = \(\frac{{{\rm{OA}} + {\rm{OB}} - {\rm{AB}}}}{2}\).

b) Gọi T là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác OAB tại đỉnh O. Đường tròn (T) tiếp xúc với Ax, By, AB lần lượt tại H, J, G. Do đó, AH = AG, GB = BJ.

Ta có: OH = OA + AH = OA + AG, OJ = OB + BJ = OB + BG.

Suy ra: OH + OJ = OA + AG + OB + BG = OA + OB + AB.

Suy ra OH = OJ = \(\frac{{{\rm{OA}} + {\rm{OB}} + {\rm{AB}}}}{2}\).Vì OA + AB + OB không đổi nên OH, OJ không đổi. Mà O cố định nên H, J cố định.

Lại có TH ^ Ox, TJ ^ Oy nên TH, TJ cố định. Suy ra, T cố định.

Vậy nếu chu vi tam giác OAB không đổi. Chứng minh AB luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Xem đáp án

Lời giải

a) Tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {{\rm{BAC}}} = 90^\circ \).

Vì DM ^ AB tại M, DN ^ AC tại N nên \(\widehat {{\rm{DNA}}} = \widehat {{\rm{DNC}}} = \widehat {{\rm{DMA}}} = \widehat {{\rm{DMB}}} = 90^\circ \).

Tứ giác AMDN có: \(\widehat {{\rm{DNA}}} = \widehat {{\rm{DMA}}} = \widehat {{\rm{NAM}}} = 90^\circ \) nên tứ giác AMDN là hình chữ nhật.

b) Gọi E là giao điểm của AD và MN, mà tứ giác ADMN là hình chữ nhật nên EN = EM = ED = AE.

Vì tam giác AHD vuông tại H, HE là trung tuyến ứng với cạnh huyền AD nên ED = AE = EH. Suy ra: ED = AE = EH = EN = EM.

Tam giác NHM có: HE là đường trung tuyến của tam giác và EH = EN = EM nên tam giác NHM vuông tại H. Suy ra \(\widehat {{\rm{NHM}}} = 90^\circ \).

Câu 2

Xem đáp án

Lời giải

a) Vì tứ giác ABCD là hình thang cân nên AD = BC, \(\widehat {\rm{D}} = \widehat {\rm{C}}\).

Xét DAHD và DBKC có: \(\widehat {{\rm{AHD}}} = \widehat {{\rm{BKC}}} = 90^\circ \), AD = BC, \(\widehat {\rm{D}} = \widehat {\rm{C}}\).

Do đó, DAHD = DBKC (ch – gn).

b) Vì DAHD = DBKC nên AH = BK. Lại có: AH // BK (cùng song song với DC).

Do đó, tứ giác ABKH là hình bình hành. Suy ra AB = HK.

Câu 3