Cho tam giác ABC vuông ở A. Gọi E, G, F lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC. Từ E kẻ đường thẳng song song với BF, đường thẳng này cắt GF tại I.

a) Tứ giác AEGF là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh tứ giác BEIF là hình bình hành.

c) Chứng minh tứ giác AGCI là hình thoi.

d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AGCI là hình vuông.

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Vì G, F lần lượt là trung điểm của BC, AC nên GF là đường trung bình của tam giác ABC. Suy ra GF//AB và GF = \(\frac{1}{2}\)AB = AE.

Tứ giác AEGF có: GF // AE, GF = AE nên tứ giác AEGF là hình bình hành.

Lại có: \(\widehat {{\rm{EAF}}} = 90^\circ \) nên tứ giác AEGF là hình chữ nhật.

b) Tứ giác BEIF có: BE // IF (cmt), BF // IE (gt) nên tứ giác BEIF là hình bình hành.

c) Ta có GF // AB và AC ⊥ AB nên AC ⊥ GF.

Ta thấy IF = BE (vì tứ giác BEIF là hình bình hành), GF = AE (cmt), AE = BE (gt) nên IF = GF.

Tứ giác AGCI có hai đường chéo AC và IG cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên tứ giác AGCI là hình bình hành.

Ta có: AB // GI, mà AB ^ AC nên GI ^ AC.

Hình bình hành AGCI có hai đường chéo vuông góc với nhau nên hình bình hành AGCI là hình thoi.

d) Để hình bình hành AGCI là hình thoi thì \(\widehat {{\rm{AGC}}} = 90^\circ \). Khi đó, AG ^ BC.

Khi đó, tam giác vuông ABC tại A có AG vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên tam giác ABC vuông cân tại A.

Vậy tam giác ABC vuông cân tại A thì tứ giác AGCI là hình thoi.

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Xem đáp án

Lời giải

a) Tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {{\rm{BAC}}} = 90^\circ \).

Vì DM ^ AB tại M, DN ^ AC tại N nên \(\widehat {{\rm{DNA}}} = \widehat {{\rm{DNC}}} = \widehat {{\rm{DMA}}} = \widehat {{\rm{DMB}}} = 90^\circ \).

Tứ giác AMDN có: \(\widehat {{\rm{DNA}}} = \widehat {{\rm{DMA}}} = \widehat {{\rm{NAM}}} = 90^\circ \) nên tứ giác AMDN là hình chữ nhật.

b) Gọi E là giao điểm của AD và MN, mà tứ giác ADMN là hình chữ nhật nên EN = EM = ED = AE.

Vì tam giác AHD vuông tại H, HE là trung tuyến ứng với cạnh huyền AD nên ED = AE = EH. Suy ra: ED = AE = EH = EN = EM.

Tam giác NHM có: HE là đường trung tuyến của tam giác và EH = EN = EM nên tam giác NHM vuông tại H. Suy ra \(\widehat {{\rm{NHM}}} = 90^\circ \).

Câu 2

Xem đáp án

Lời giải

a) Vì tứ giác ABCD là hình thang cân nên AD = BC, \(\widehat {\rm{D}} = \widehat {\rm{C}}\).

Xét DAHD và DBKC có: \(\widehat {{\rm{AHD}}} = \widehat {{\rm{BKC}}} = 90^\circ \), AD = BC, \(\widehat {\rm{D}} = \widehat {\rm{C}}\).

Do đó, DAHD = DBKC (ch – gn).

b) Vì DAHD = DBKC nên AH = BK. Lại có: AH // BK (cùng song song với DC).

Do đó, tứ giác ABKH là hình bình hành. Suy ra AB = HK.

Câu 3