Cho đa thức P(x) = ax² + bx + c thỏa mãn điều kiện với số nguyên x bất kì thì P(x) là một số chính phương. Chứng minh rằng a, b, c là các số nguyên và b là số chẵn.

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: P(0) = a.0² + b.0 + c = c = m², m Î \(\mathbb{Z}\), do đó c là số nguyên.

P(1) = a.1² + b.1 + c = a + b + c = k² (k Î \(\mathbb{Z}\)).

Suy ra: a + b = k² – c = k² – m² là số nguyên (*).

P(2) = a.2² + b.2 + c = 4a + 2b + m² = n² (n Î \(\mathbb{Z}\)).

Suy ra 4a + 2b = n² – m² là số nguyên (1).

Từ (1) và (*) ta có: 4a + 2b – 2(a + b) là số nguyên nên 2a là số nguyên, suy ra a là số nguyên. Kết hợp với (*) ta có b là số nguyên.

Từ (1) suy ra n² – m² là số chẵn (2). Suy ra (m – n)(m + n) là số chẵn.

Mà m – n và m + n có cùng tính chẵn lẻ với m, n Î \(\mathbb{Z}\).

Kết hợp với (2) suy ra (m – n)(m + n) chia hết cho 4 hay n² – m² chia hết cho 4.

Kết hợp với (1) ta có: 2b chia hết cho 4 nên b chia hết cho 2, suy ra b là số chẵn.

Vậy a, b, c là các số nguyên và b là số chẵn khi đa thức P(x) có số nguyên x bất kì thì P(x) là một số chính phương

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Xem đáp án

Lời giải

a) 5xy²(–3y)² = 5xy². 9y² = (5.9).x.(y².y²) = 45xy⁴. Hệ số: 45, bậc: 5.

b) x²yz(–2xy)³ = x²yz.(–8)x³y³ = (–8)(x². x³)(y.y³)z = –8x⁵y⁴z. Hệ số: –8, bậc 10.

c) (–2x²y)². 8x³yz³ = 4x⁴y². 8x³yz³ = (4.8)(x⁴. x³)(y². y).z³ = 32x⁷y³z³.

Hệ số: 32, bậc: 13.

d) (–2xy³)². (–2xyz)³ = 4x²y⁶.(–8)x³y³z³= [4.(–8)](x². x³)(y⁶. y³).z³ = –32x⁵y⁹z³.

Hệ số: –32, bậc: 17.

e) (–5xy³z). (–4x²)² = –5xy³z. 16x⁴ = [(–5).16](x. x⁴)y³.z = –80x⁵y³z.

Hệ số: –80, bậc: 9.

f) (2x²y³)². (–2xy) = 4x⁴y⁶.(–2)xy = [4.(–2)](x⁴.x)(y⁶.y) = –8x⁵y⁷.

Hệ số: –8, bậc: 12.

Câu 2

Xem đáp án

Lời giải

a) Vì tứ giác ABCD là hình thang cân nên AD = BC, \(\widehat {\rm{D}} = \widehat {\rm{C}}\).

Xét DAHD và DBKC có: \(\widehat {{\rm{AHD}}} = \widehat {{\rm{BKC}}} = 90^\circ \), AD = BC, \(\widehat {\rm{D}} = \widehat {\rm{C}}\).

Do đó, DAHD = DBKC (ch – gn).

b) Vì DAHD = DBKC nên AH = BK. Lại có: AH // BK (cùng song song với DC).

Do đó, tứ giác ABKH là hình bình hành. Suy ra AB = HK.

Câu 3