Cho đa thức P(x) = ax² + bx + c thỏa mãn điều kiện với số nguyên x bất kì thì P(x) là một số chính phương. Chứng minh rằng a, b, c là các số nguyên và b là số chẵn.

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: P(0) = a.0² + b.0 + c = c = m², m Î \(\mathbb{Z}\), do đó c là số nguyên.

P(1) = a.1² + b.1 + c = a + b + c = k² (k Î \(\mathbb{Z}\)).

Suy ra: a + b = k² – c = k² – m² là số nguyên (*).

P(2) = a.2² + b.2 + c = 4a + 2b + m² = n² (n Î \(\mathbb{Z}\)).

Suy ra 4a + 2b = n² – m² là số nguyên (1).

Từ (1) và (*) ta có: 4a + 2b – 2(a + b) là số nguyên nên 2a là số nguyên, suy ra a là số nguyên. Kết hợp với (*) ta có b là số nguyên.

Từ (1) suy ra n² – m² là số chẵn (2). Suy ra (m – n)(m + n) là số chẵn.

Mà m – n và m + n có cùng tính chẵn lẻ với m, n Î \(\mathbb{Z}\).

Kết hợp với (2) suy ra (m – n)(m + n) chia hết cho 4 hay n² – m² chia hết cho 4.

Kết hợp với (1) ta có: 2b chia hết cho 4 nên b chia hết cho 2, suy ra b là số chẵn.

Vậy a, b, c là các số nguyên và b là số chẵn khi đa thức P(x) có số nguyên x bất kì thì P(x) là một số chính phương

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Xem đáp án

Lời giải

a) Vì tứ giác ABCD là hình thang cân nên AD = BC, \(\widehat {\rm{D}} = \widehat {\rm{C}}\).

Xét DAHD và DBKC có: \(\widehat {{\rm{AHD}}} = \widehat {{\rm{BKC}}} = 90^\circ \), AD = BC, \(\widehat {\rm{D}} = \widehat {\rm{C}}\).

Do đó, DAHD = DBKC (ch – gn).

b) Vì DAHD = DBKC nên AH = BK. Lại có: AH // BK (cùng song song với DC).

Do đó, tứ giác ABKH là hình bình hành. Suy ra AB = HK.

Câu 2

Xem đáp án

Lời giải

a) Tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {{\rm{BAC}}} = 90^\circ \).

Vì DM ^ AB tại M, DN ^ AC tại N nên \(\widehat {{\rm{DNA}}} = \widehat {{\rm{DNC}}} = \widehat {{\rm{DMA}}} = \widehat {{\rm{DMB}}} = 90^\circ \).

Tứ giác AMDN có: \(\widehat {{\rm{DNA}}} = \widehat {{\rm{DMA}}} = \widehat {{\rm{NAM}}} = 90^\circ \) nên tứ giác AMDN là hình chữ nhật.

b) Gọi E là giao điểm của AD và MN, mà tứ giác ADMN là hình chữ nhật nên EN = EM = ED = AE.

Vì tam giác AHD vuông tại H, HE là trung tuyến ứng với cạnh huyền AD nên ED = AE = EH. Suy ra: ED = AE = EH = EN = EM.

Tam giác NHM có: HE là đường trung tuyến của tam giác và EH = EN = EM nên tam giác NHM vuông tại H. Suy ra \(\widehat {{\rm{NHM}}} = 90^\circ \).

Câu 3