Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1; 1; 1), B(3; 1; 3), C(1; 3; 3) và D(1; 1; 5).

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng.                     b) Đúng.               c) Sai .                   d) Sai.

a) Đúng. Mặt cầu có tâm O(0; 0; 0) và đi qua điểm A, ta có: R = OA = \(\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 3 \).

Phương trình cần tìm là: x² + y² + z² = 3.

b) Đúng. Gọi tâm I(a; b; c) ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Vì (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD thì IA = IB = IC = ID.

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{A^2} = I{C^2}\\I{A^2} = I{D^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 5} \right)^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 2a + 1 + {c^2} - 2c + 1 = {a^2} - 6a + 9 + {c^2} - 6c + 9\\{b^2} - 2b + 1 + {c^2} - 2c + 1 = {b^2} - 6b + 9 + {c^2} - 6c + 9\\{c^2} - 2c + 1 = {c^2} - 10c + 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\\c = 3\end{array} \right.\).

Do đó, I(1; 1; 3), R = IA = \(\sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2}} = 2\).

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng 2.

c) Sai. Ta có: R' = d(I, (P)) = \(\frac{{\left| {2 \cdot 1 + 2 \cdot 3 - 3 + 12} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{17}}{3}\).

Do đó, phương trình mặt cầu tâm C, bán kính R' = \(\frac{{17}}{3}\) là:

(x – 1)² + (y – 3)² + (z – 3)² =\(\frac{{289}}{9}\).

d) Sai. Do điểm M di động trên mặt phẳng (Oxy) nên tọa độ của M là (x; y; 0).

Ta có: \(\overrightarrow {MA} \) = (1 – x: 1 – y; 1);           \(\overrightarrow {MB} \) = (3 – x; 1 – y; 3).

T = \(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} \)= (1 – x)(3 – x) + (1 – y)(1 – y) + 1×3 = x² – 4x + 3 + y² – 2y + 1 + 3 = x² – 4x + y² – 2y + 7.

Để biểu thức T đạt giá trị nhỏ nhất thì:

T = (x² – 4x + 4) + (y² – 2y + 1) + 2 = (x – 2)² + (y – 1)² + 2.

Vì (x – 2)² $\ge$ 0 và (y – 1)² $\ge$ 0, x, y $\in$ ℝ nên ta có T $\ge$ 0 + 0 + 2 = 2

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\).

Do đó M(2; 1; 0) nên giá trị nhỏ nhất của biểu thức T bằng 2.