Cho \[\frac{{\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} }}{{\sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} }} = \sqrt 2 \]. Với \[\left| x \right| < 1;\,x \ne 0\].

Chứng minh rằng \[\frac{{x - 1}}{{x + 1}} = 12\sqrt 2 - 17\].

Tính biểu thức A:

A = sin²5° + sin²25° + sin²45° + sin²65° + sin²85°

A = (sin²5° + sin²85°) + (sin²25° + sin²65°) + sin²45°

A = sin²90° + sin²90° + sin²45°

\[A = {\left( 1 \right)^2} + {\left( 1 \right)^2} + {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\]

Ta thấy A có giá trị bằng \[\frac{5}{2} > 1\] do đó A > 1.

a) \[A = \frac{{59}}{{\sqrt 3 + \sqrt 5 + \sqrt 7 }}\]

\[A = \frac{{59\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 - \sqrt 7 } \right)}}{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 + \sqrt 7 } \right)\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 - \sqrt 7 } \right)}}\]

\[A = \frac{{59\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 - \sqrt 7 } \right)}}{{{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)}^2} - 7}}\]

\[A = \frac{{59\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 - \sqrt 7 } \right)}}{{2\sqrt {15} + 1}}\]

\[A = \frac{{59\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 - \sqrt 7 } \right)\left( {2\sqrt {15} + 1} \right)}}{{\left( {2\sqrt {15} + 1} \right)\left( {2\sqrt {15} - 1} \right)}}\]

\[A = \frac{{59\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 - \sqrt 7 } \right)\left( {2\sqrt {15} + 1} \right)}}{{60 - 1}}\]

\[A = \left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 - \sqrt 7 } \right)\left( {2\sqrt {15} + 1} \right)\]

b) Cách 1: Phân tích tử thành nhân tử rồi rút gọn:

\[\frac{{\sqrt {14} - \sqrt 7 }}{{2 - \sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 7 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt 7 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 7 .\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 .\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\]

Cách 2: Trục căn thức ở mẫu:

\[\begin{array}{l}\frac{{\sqrt {14} - \sqrt 7 }}{{2 - \sqrt 2 }} = \frac{{\left( {\sqrt {14} - \sqrt 7 } \right)\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}} = \frac{{2\sqrt {14} - 2\sqrt 7 + \sqrt {28} - \sqrt {14} }}{{{2^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}}\\ = \frac{{2\sqrt {14} - 2\sqrt 7 + 2\sqrt 7 - \sqrt {14} }}{{4 - 2}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\end{array}\]