Cho tam giác ABC, có góc $\widehat {BAC} = 45^\circ $. Trong tam giác, các đường cao cắt nhau tại H. Lần lượt lấy các trung điểm của AB, AC, HC và HB là M, N, P, Q. Chứng minh rằng MP $⊥$ NQ.

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$Cho tam giác ABC, có góc $\widehat {BAC} = 45^\circ $. Trong tam giác, các đường cao cắt nhau tại H. Lần lượt lấy các trung điểm của AB, AC, HC và HB là M, N, P, Q. Chứng minh rằng MP NQ. (ảnh 1)$

Ta có MN, PQ là đường trung bình của các tam giác ABC và HBC

Suy ra MN // PQ và MN = PQ

Khi đó, tứ giác MNPQ là hình bình hành

Có $\widehat {BAC} = 45^\circ $ $\widehat {ABH} = \widehat {ACH} = 45^\circ $ (cùng phụ với $\widehat {BAC}$)

Suy ra AK = BK, HK = CK

Do đó ∆AHK = ∆CBK (cạnh góc vuông – cạnh góc vuông)

Suy ra AH = BC (hai cạnh tương ứng).

Hai đoạn thẳng MN và NP là các đường trung bình của tam giác ABC và AHC

Do đó: MN = NP (do AH = BC), MN NP (do AH BC).

Nên MNPQ là hình vuông

Vậy MP $⊥$ NQ.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chữ nhật ABCD có AB > 2BC, trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BC = AM, trên tia CB lấy điểm N sao cho CN = BM, CM cắt AN tại P, trên cạnh CD lấy điểm E sao cho CE = CB. Đường thẳng qua A vuông góc với AE cắt đường thẳng qua N vuông góc với NE tại điểm F. Gọi K là giao điểm của EN với PC, L là giao điểm của EF với AN. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác NKL và NEP.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có AENF là hình vuông và AN cắt EF tại L

Nên NLE vuông cân tại L.

Hạ LG NE (G NE), khi đó G là trung điểm của NE và LG = $\frac{1}{2}$NE (*)

Ta chứng minh được AMCE là hình bình hành:

AB // CD, M AB, E CD AM // CE

Lại có: AM = BC = CE nên AMCE là hình bình hành.

Suy ra AE // CM

Mà AE EN nên CM EN hay PK KN ∆PKN vuông cân tại K (do $\widehat {PNE} = 45^\circ $)

Suy ra PK = NK (**)

+ ∆NKL có LG NK ${S_{NKL}} = \frac{1}{2}LG.NK$

+ ∆NPE có PK NE ${S_{NPE}} = \frac{1}{2}PK.NE$

Do đó kết hợp (*) và (**) ${S_{NKL}} = \frac{1}{2}{S_{NPE}} \Rightarrow \frac{{{S_{NKL}}}}{{{S_{NPE}}}} = \frac{1}{2}$.

Câu 2

Hai chiếc xe cùng xuất phát tại một thời điểm tới cùng một địa điểm. Xe đầu tiên tới điểm đến trước xe thứ hai 3 giờ. Tổng thời gian hoàn thành quãng đường của cả hai xe là 9 giờ. Hỏi mỗi xe đi hết quãng đường trong bao lâu?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi x (giờ) là thời gian hoàn thành quãng đường của xe đầu tiên (x > 0)

Thời gian hoàn thành quãng đường của xe thứ hai là x + 3 (giờ).

Theo giả thiết, tổng thời gian hoàn thành quãng đường của cả hai xe là 9 giờ:

x + (x + 3) = 9

2x = 6

x = 3 (TMĐK)

Vậy xe thứ nhất và xe thứ hai đi hết khoảng thời gian lần lượt là 3 giờ và 6 giờ.

Câu 3